Hva betyr det for eksempel at:
f(x) = x^2 --------> f '(x) = 2x
Den deriverte av x^2 er altså 2x. Og det vil innebærer hva?
Derivasjon - skjønner ikke konseptet
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Sitter her og prøver å forstå hva derivasjon egentlig er. Altså ikke bare å bruke formlene, men å skjønne hva de betyr.
Hva betyr det for eksempel at:
f(x) = x^2 --------> f '(x) = 2x
Den deriverte av x^2 er altså 2x. Og det vil innebærer hva?
Hva betyr det for eksempel at:
f(x) = x^2 --------> f '(x) = 2x
Den deriverte av x^2 er altså 2x. Og det vil innebærer hva?
Veldig kort oppsummert så betyr det at for en gitt x-verdi, så vil stigningstallet på et punkt $(x, f(x))$ på grafen til $f(x)$ være gitt ved $f'(x)$.
Eksempel, med $f(x) = x^2$:
La $x = 3$. Det vil si at punktet $ P(3, f(3))$ ligger på grafen til $f(x)$. Det vil være punktet $P(3, 9)$.
Når vi vet at $f'(x) = 2x$ så betyr det at vi vet at stigningstallet i punktet $P$ vil være $f'(3) = 2\cdot3 = 6$.
Så siden vi vet hva $f'(x)$ er, så kan vi enkelt finne stigningstallet i ALLE punktene på grafen til $f(x) = x^2$.
Har laget flere titalls videoer om derivasjon her: https://udl.no/p/matematikk-blandet/derivasjon
Hvis du ser de fire første så skal det gi en god, intuitiv innledning til hva derivasjon er og hvilke bruksområder det har. De øvrige 40-50 videoene vil for det meste være oppgave-eksempler.
Eksempel, med $f(x) = x^2$:
La $x = 3$. Det vil si at punktet $ P(3, f(3))$ ligger på grafen til $f(x)$. Det vil være punktet $P(3, 9)$.
Når vi vet at $f'(x) = 2x$ så betyr det at vi vet at stigningstallet i punktet $P$ vil være $f'(3) = 2\cdot3 = 6$.
Så siden vi vet hva $f'(x)$ er, så kan vi enkelt finne stigningstallet i ALLE punktene på grafen til $f(x) = x^2$.
Har laget flere titalls videoer om derivasjon her: https://udl.no/p/matematikk-blandet/derivasjon
Hvis du ser de fire første så skal det gi en god, intuitiv innledning til hva derivasjon er og hvilke bruksområder det har. De øvrige 40-50 videoene vil for det meste være oppgave-eksempler.
Nytt hodebry:
Vi har en funksjon f(x) = x ^(-1)
Finn f ' (x).
Hvordan i huleste går man fram?
Jeg har nettopp begynt med derivasjon, og kjenner regelen (x^(n)) = n * x ^n - 1
Men hvordan blir dette når man i utgangspunktet har en negativ eksponent?
Vi har en funksjon f(x) = x ^(-1)
Finn f ' (x).
Hvordan i huleste går man fram?
Jeg har nettopp begynt med derivasjon, og kjenner regelen (x^(n)) = n * x ^n - 1
Men hvordan blir dette når man i utgangspunktet har en negativ eksponent?
Regelen gjelder også for negative eksponenter. Kjør på!
Aha, okei.
f (x) = 1/x = x ^(-1)
n = (-1)
f ' (x) = (-1) * x ^(-1) - 1
= -x ^(-2)
= - (1 / x^2)
Da har vi den deriverte av x: - (1 / x^2), og kan dermed finne den momentane vekstfarten i et hvilket som helst punk x, f(x) på grafen.
F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være:
- (1 / 2^2) = - (1/4)
f (x) = 1/x = x ^(-1)
n = (-1)
f ' (x) = (-1) * x ^(-1) - 1
= -x ^(-2)
= - (1 / x^2)
Da har vi den deriverte av x: - (1 / x^2), og kan dermed finne den momentane vekstfarten i et hvilket som helst punk x, f(x) på grafen.
F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være:
- (1 / 2^2) = - (1/4)
Det ser fint ut, bortsett fra noen unøyaktigheter i notasjonen.
Du har avgjort at vekstfarten i punktet $(2, \frac12)$ er $-\frac14$. Du kan også styrke denne avgjørelsen ved å gjøre følgende betraktning: Du har kommet frem til at vekstfarten er negativ i dette punktet. Stemmer dette med en illustrasjon av grafen? Er grafen på vei nedover i dette punktet?
Du har avgjort at vekstfarten i punktet $(2, \frac12)$ er $-\frac14$. Du kan også styrke denne avgjørelsen ved å gjøre følgende betraktning: Du har kommet frem til at vekstfarten er negativ i dette punktet. Stemmer dette med en illustrasjon av grafen? Er grafen på vei nedover i dette punktet?
Ja, grafen er jo på vei ned i punktet (2, 1/2).Aleks855 skrev:Det ser fint ut, bortsett fra noen unøyaktigheter i notasjonen.
Du har avgjort at vekstfarten i punktet $(2, \frac12)$ er $-\frac14$. Du kan også styrke denne avgjørelsen ved å gjøre følgende betraktning: Du har kommet frem til at vekstfarten er negativ i dette punktet. Stemmer dette med en illustrasjon av grafen? Er grafen på vei nedover i dette punktet?
Hva mener du med unøyaktigheter i notasjonen`?
Bare småpirk. Det ser ut som du har skjønt greia, men enkelte ting kan pirkes på av eventuell sensor.
Som sagt, dette er småpirk i det store bildet. Og det du sier kan enkelt tolkes rett av sensor, men det kan være lurt å ikke la det være opp til sensor å tolke det. Bedre å være nøyaktig.
Det vi har er den deriverte av $f(x)$, men med hensyn på $x$. "Den deriverte av x" blir 1 eller 0, avhengig av hva du deriverer med hensyn på.Da har vi den deriverte av x: - (1 / x^2)
Et "punkt" består av to komponenter i dette tilfellet, en $x$-komponent, og en $y$-komponent (aka. $f(x)$). Så punktet er $(2, \frac12)$.F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være [...]
Som sagt, dette er småpirk i det store bildet. Og det du sier kan enkelt tolkes rett av sensor, men det kan være lurt å ikke la det være opp til sensor å tolke det. Bedre å være nøyaktig.
TakkAleks855 skrev:Bare småpirk. Det ser ut som du har skjønt greia, men enkelte ting kan pirkes på av eventuell sensor.
Det vi har er den deriverte av $f(x)$, men med hensyn på $x$. "Den deriverte av x" blir 1 eller 0, avhengig av hva du deriverer med hensyn på.Da har vi den deriverte av x: - (1 / x^2)
Et "punkt" består av to komponenter i dette tilfellet, en $x$-komponent, og en $y$-komponent (aka. $f(x)$). Så punktet er $(2, \frac12)$.F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være [...]
Som sagt, dette er småpirk i det store bildet. Og det du sier kan enkelt tolkes rett av sensor, men det kan være lurt å ikke la det være opp til sensor å tolke det. Bedre å være nøyaktig.
Nyttig å venne seg til å være nøyaktig på dette.Ja, det er viktig. Det er noe jeg selv henger litt etter på. Spesielt under bevisføring. Men matematisk kompetanse går i stor grad ut på mengdetrening.
Jeg ble svar skyldig til denne oppgaven. Dette er en typisk oppgave som skal teste om man egentlig har skjønt poenget utover å bruke formlene på autopilot. 
Trenger innspill på hvordan jeg skal gå frem.
Hvorfor er informasjonen om at det ene nullpunktet er x = 1 nyttig?
Jeg ser at stigningstallet til den deriverte funksjonen f' er 2. Er det nyttig info?
Trenger innspill på hvordan jeg skal gå frem.
Hvorfor er informasjonen om at det ene nullpunktet er x = 1 nyttig?
Jeg ser at stigningstallet til den deriverte funksjonen f' er 2. Er det nyttig info?
- Vedlegg
-
- 28217631_10160120336650714_626143380_o.jpg (345.54 kiB) Vist 3738 ganger
Siden $f'$ er lineær må $f$ være et andregradspolynom, på formen $f(x)=ax^2+bx+c$. Da er $f'(x)=2ax+b$ og $f''(x)=2a$. Du kan finne $a$ og $b$ utfra grafen, mens du trenger informasjon om nullpunktet til $f$ for å bestemme $c$. Grunnen til det siste er at $c$ ikke er unikt bestemt kun utfra den deriverte $f'$.
Ikke helt enig i det du sier her. For en funksjon $f:A\to B$ er det ofte vanlig å bruke begrepet punkt om elementer $x$ i domenet A, mens elementer i kodomenet B ofte kalles verdier. Det er dermed riktig å si at verdien til $f$ evaluert i punktet $x$ er $f(x)$. På samme måte snakker man f.eks. om et toppunkt til en funksjon som et punkt $a$ i domenet, slik at $f(a)$ er større enn alle andre funksjonsverdier i punkter i en omegn om $a$. Se f.eks https://www.matematikk.org/artikkel.html?tid=155252 for flere eksempler på notasjonen.Aleks855 skrev:Et "punkt" består av to komponenter i dette tilfellet, en $x$-komponent, og en $y$-komponent (aka. $f(x)$). Så punktet er $(2, \frac12)$.F.eks vil vekstfarten til f i punktet x = 2 være [...]
Som sagt, dette er småpirk i det store bildet. Og det du sier kan enkelt tolkes rett av sensor, men det kan være lurt å ikke la det være opp til sensor å tolke det. Bedre å være nøyaktig.
Det er noe annet å snakke om punkter $(x,f(x))$ på grafen til $f$.matematikk.org skrev:Et toppunkt for en funksjon f(x) er et punkt a i definisjonsmengden der funksjonsverdien f(a) er større enn f(x) i alle nabopunkter, altså alle punkter i et intervall rundt a.
Ja, så når f' er en rett linje, så vet vi at f må være et andregradspolynom.Gustav skrev:Siden $f'$ er lineær må $f$ være et andregradspolynom, på formen $f(x)=ax^2+bx+c$. Da er $f'(x)=2ax+b$ og $f''(x)=2a$. Du kan finne $a$ og $b$ utfra grafen, mens du trenger informasjon om nullpunktet til $f$ for å bestemme $c$. Grunnen til det siste er at $c$ ikke er unikt bestemt kun utfra den deriverte $f'$.
Har den dobbelt-deriverte å si noe i denne sammenheng, eller tok du med bare for morro skyld?
Visuelt i Geogebra ser jeg at det b er det samme som tallet foran x i førstegradsleddet i andregradspolynomet.
Men jeg skjønner fortsatt ikke hvordan jeg skal kunne finne a ut ifra den rette linja f '.
Og hvordan hjelper nullpunktet oss til å finne c?
Jeg trodde jeg hadde sånn noenlunde grepet om derivasjon, helt til denne oppgave dukka opp