[tex]\int x^3*e^x^{2}[/tex]
Her får jeg [tex]\frac{1}{2}*e^x^2*(x^2-2x+2)[/tex]
Men fasiten sier at i stedet for (x^2-2x+2) skal det være (x^2-1). Hva er det jeg har gjort feil?
integral
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Vi skal løse det ubestemte integralet
$$ \int x^3e^{x^2} \; dx$$
La $u = x^2$. Da har vi at $\frac{du}{2x} = dx$. Vi anvender dette på integralet og får
$$\int x^3e^u\frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int x^2e^u \; du = \frac{1}{2}\int ue^u \; du$$.
Dette løser vi med delvis integrasjon:
$$\frac{1}{2}\int ue^u \; du = \frac{1}{2}ue^u - \frac{1}{2}\int e^u \; du = \frac{1}{2}ue^u - \frac{1}{2}e^u + C$$
Vi setter inn $u = x^2$ igjen og får
$$ \frac{1}{2}x^2e^{x^2} - \frac{1}{2}e^{x^2} + C = \frac{1}{2}e^{x^2}\big(x^2-1\big) + C$$
$$ \int x^3e^{x^2} \; dx$$
La $u = x^2$. Da har vi at $\frac{du}{2x} = dx$. Vi anvender dette på integralet og får
$$\int x^3e^u\frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int x^2e^u \; du = \frac{1}{2}\int ue^u \; du$$.
Dette løser vi med delvis integrasjon:
$$\frac{1}{2}\int ue^u \; du = \frac{1}{2}ue^u - \frac{1}{2}\int e^u \; du = \frac{1}{2}ue^u - \frac{1}{2}e^u + C$$
Vi setter inn $u = x^2$ igjen og får
$$ \frac{1}{2}x^2e^{x^2} - \frac{1}{2}e^{x^2} + C = \frac{1}{2}e^{x^2}\big(x^2-1\big) + C$$
-
Gjest
Takk! Så når vi først gjør variabelskifte og deretter delvis integrasjon, så skal jeg se på u som en konstant?
-
mfdk
Gjest skrev:Takk! Så når vi først gjør variabelskifte og deretter delvis integrasjon, så skal jeg se på u som om det var "x"?
Gjest skrev:Takk! Så når vi først gjør variabelskifte og deretter delvis integrasjon, så skal jeg se på u som en konstant?
Når du har gjort variabelskifte, tar $u$ rollen som $x$ opprinnelig hadde. Vi ser "merkelappen" $du$ bak integralet som forteller oss hvilken variabel vi integrerer med hensyn på.
Dette betyr at delvis integrasjon gjøres på vanlig vis, men med hensyn på $u$ og ikke $x$.