matematikk.net

Hei.
Litt usikker på en oppgave i et tentamensett fra noen år tilbake. Har på et vis klart å løse den og få rett svar, men jeg er usikker på om framgangsmåten er riktig.

Oppgaven lyder:

"Ole er bonde og har høner som produserer egg. Han har høner som legger hvite egg, og han har høner som legger brune egg. En dag legger han merke til at det i løpet av dagen har blitt lagt 90% hvite egg og 10% brune egg.

Ole legger tilfeldig noen av eggene i en kurv og tar dem med inn på kjøkkenet. Det viser seg at nøyaktig 2 av eggene i kurven er brune, resten er hvite.
Ole trekker nå tilfeldig ut 2 av eggene i kurven til en omelett. Sjansen for at begge eggene er brune, er 10%. Hvor mange egg var det i kurven totalt?"


Det jeg har gjort, er å sette opp en ligning:

[tex]\frac{2}{x}*\frac{1}{x-1}=\frac{1}{10}[/tex]

Som gir

[tex]\frac{2}{x^2-x}=\frac{1}{10}[/tex]

Som gir

[tex]x^2-x=20[/tex]

Løser med ABC-formel og får at x=5 og x=-4.

Siden det ikke kan være negativt antall egg i posen, må det være 5 egg.



Synes denne framgangsmåten er veldig rar, til tross for at jeg får rett svar. Finnes det en enklere måte?
Tusen takk

Torveld skrev:Hei.
Litt usikker på en oppgave i et tentamensett fra noen år tilbake. Har på et vis klart å løse den og få rett svar, men jeg er usikker på om framgangsmåten er riktig.

Oppgaven lyder:

"Ole er bonde og har høner som produserer egg. Han har høner som legger hvite egg, og han har høner som legger brune egg. En dag legger han merke til at det i løpet av dagen har blitt lagt 90% hvite egg og 10% brune egg.

Ole legger tilfeldig noen av eggene i en kurv og tar dem med inn på kjøkkenet. Det viser seg at nøyaktig 2 av eggene i kurven er brune, resten er hvite.
Ole trekker nå tilfeldig ut 2 av eggene i kurven til en omelett. Sjansen for at begge eggene er brune, er 10%. Hvor mange egg var det i kurven totalt?"


Det jeg har gjort, er å sette opp en ligning:

[tex]\frac{2}{x}*\frac{1}{x-1}=\frac{1}{10}[/tex]

Som gir

[tex]\frac{2}{x^2-x}=\frac{1}{10}[/tex]

Som gir

[tex]x^2-x=20[/tex]

Løser med ABC-formel og får at x=5 og x=-4.

Siden det ikke kan være negativt antall egg i posen, må det være 5 egg.



Synes denne framgangsmåten er veldig rar, til tross for at jeg får rett svar. Finnes det en enklere måte?
Tusen takk

Fremgangsmåten er riktig og gir korrekt svar.

La $x$ være det totale antall egg i kurven. Da har vi at $$\begin{align*} \frac{1}{10} & = \mathbb{P}\left(\text{to brune egg trekkes}\right) \\ & = \mathbb{P}\left(\text{første egg trukket er brunt}\right)\cdot\mathbb{P}\left(\text{annet egg trukket er brunt, gitt at første egg trukket var brunt}\right).\end{align*}$$ Når Ole trekker det første egget finnes det $2$ brune av $x$ mulige egg, og når han skal trekke det andre egget finnes det $1$ gjenværende brunt blant $x-1$ mulige egg. Dermed får vi at $$\frac{2}{x}\frac{1}{x-1} = \frac{1}{10}.$$