Likning med lgx

[majat]

Oppgaven er fra R1 boken, oppg. 2.140 cd)

lg(2x-2)^2 = 4lg(1-x)

Noen som kan hjelpe meg? Det står i fasiten at svaret skal være x = -1

[Gjest]

[tex]log_1_0(2x-2)^{2}=4log_1_0(1-x) \Leftrightarrow log_1_0(2x-2)^{2}=log_1_0(1-x)^{4}[/tex]

Bruker regelen

[tex]log_n(f(x))=log_n(g(x)) \Leftrightarrow f(x)=g(x)[/tex]

Derfor

[tex](2x-2)^2=(1-x)^4[/tex]

Polynomregningen tror jeg du forsåvidt får til selv slik at du får

[tex]-x^4+4x^2-2x^2+3=0 \Leftrightarrow -(x-1)^2(x+1)(x-3)=0[/tex]

Deretter løs for individuelle x verdier

[tex]x-1=0 \Leftrightarrow x=1[/tex]

[tex]x+1=0\Leftrightarrow x=-1[/tex]

[tex]x-3=0\Leftrightarrow x=3[/tex]

Plugg deretter x verdiene inn i den originale likningen og verifiser hvilke av x verdier som gir x>0 eller x<0

x=1 gir

[tex]log_1_0((2*1-2)^2)=4log_1_0(1-1) \Rightarrow x \neq 1[/tex]


x= (-1) gir

[tex]log_1_0((2*(-1)*-2)^2)=4log_1_0(1-(-1)) \Rightarrow x = (-1)[/tex]


x = 3 gir

[tex]log_1_0((2*3-2)^2)=4log_1_0(1-3) \Rightarrow x \neq 3[/tex]


Derfor kan vi si at [tex]x=(-1)[/tex]

[zell]

Høyre side fører med seg at [tex]x<1[/tex] siden [tex]x-1>0[/tex]

[tex]\log{\left[(2x-2)^2\right]} = \log{\left[(1-x)^4\right]}[/tex]

[tex]\log{\left(4(x-1)^2\right)} -\log{\left[(1-x)^4\right]}[/tex]

[tex]\log{\left(\frac{4\cancel{(x-1)^2}}{(1-x)^{\cancel{4}2}}\right)} = 0[/tex]

Som gir at:

[tex]\frac{4}{(1-x)^2} = 1 \ \Rightarrow \ 4 = 1-2x+x^2 \ \Rightarrow \ x^2-2x-3=0[/tex]

Som vha. abc-formelen gir: [tex]x = -1 \ \vee \ x = 3[/tex]

Men siden [tex]x<1[/tex] får du at [tex]x = -1[/tex]

[Neon]

Høyre side fører med seg at x<1x<1 siden x−1>0x−1>0

log[(2x−2)2]=log[(1−x)4]log⁡[(2x−2)2]=log⁡[(1−x)4]

log(4(x−1)2)−log[(1−x)4]log⁡(4(x−1)2)−log⁡[(1−x)4]

log⎛⎝⎜4(x−1)2(1−x)42⎞⎠⎟=0

Hvorfor setter du 4 utenfor i linje 2? 2x-2 kan jo skrives som 2(x-1) ikke 4(x-1)

Og hvor får du 1 på høyre side fra i linje 4?

[Markonan]

Legg merke til at det er opphøyd i annen.
[tex](2x-2)^2 = (2x-2)(2x-2) = 2(x-1)2(x-1) = 2\cdot2(x-1)(x-1) = 4(x-1)^2[/tex]

Vi har et uttrykk
[tex]\log(\text{'noe'}) = 0[/tex]

Deretter opphøyer man 10 med begge sidene og får:
[tex]\text{'noe'} = 10^0 = 1[/tex]

[Neon]

Legg merke til at det er opphøyd i annen.
(2x−2)2=(2x−2)(2x−2)=2(x−1)2(x−1)=2⋅2(x−1)(x−1)=4(x−1)2(2x−2)2=(2x−2)(2x−2)=2(x−1)2(x−1)=2⋅2(x−1)(x−1)=4(x−1)2

Vi har et uttrykk
log('noe')=0log⁡('noe')=0

Deretter opphøyer man 10 med begge sidene og får:
'noe'=100=1

Forstår det nå, takk!