Hei.
Finnes det tredjegradspolynomer med heltallige røtter OG heltallige x-verdier for ekstremalpunktene?
En av delene er så klart ingen sak, men begge kombinert.
Jeg har prøvd å regne på det, men har ikke klart å finne noen enda.
Tredjegradspolynom med heltallige røtter og ekstremalverdier
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Fibonacci92
- Abel
- Innlegg: 665
- Registrert: 27/01-2007 22:55
Hva med $(x-a)^3$, $a \in \mathbb{Z}$ ?
-
Audunss89
Du vil hat et tredjegradspolynom som har heltallige røtter, der røttene er distinkte, og heltallige ekstremalpunkt:
Anta:
[tex]f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)[/tex]
første betingelse gir a,b,c lik heltall.
For å finne ekstremalpunktene må vi derivere.
[tex]f'(x)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc[/tex]
som har nullpunkt:
[tex]x=\frac{2(a+b+c)\pm \sqrt{4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)}{6}[/tex]
om ab+ac+bc=0, er det klart vi har et kvadrattall under kvadrattroten, som ønskelig, ganger vi alle koeffisientene med 3, blir vi kvitt 6 i nevneren.
[tex]ab+ac+bc=0[/tex]
kan løses med prøving og feiling.
a=0, gir bc=0, så en av de andre røttene er 0, så ikke distinkte.
a=1, gir b=c=-2 som løsning, ikke distinkte.
a=2, gir b=-3,c=-6 som distinkte løsninger.
generelt får du:
[tex]b=-\frac{ac}{a+c}[/tex]
om [tex]a+c=\pm 1[/tex] får du en løsning som holder.
Siden vi må skalere med 3, er:
[tex]f(x)=(x-6)(x+9)(x+18)[/tex]
en løsning.
som har extremalpunkt: (-14,400) og (0, -972).
Det kan hende det er andre muligheter for å finne passende løsninger også.
Anta:
[tex]f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)[/tex]
første betingelse gir a,b,c lik heltall.
For å finne ekstremalpunktene må vi derivere.
[tex]f'(x)=3x^2-2(a+b+c)x+ab+ac+bc[/tex]
som har nullpunkt:
[tex]x=\frac{2(a+b+c)\pm \sqrt{4(a+b+c)^2-12(ab+ac+bc)}{6}[/tex]
om ab+ac+bc=0, er det klart vi har et kvadrattall under kvadrattroten, som ønskelig, ganger vi alle koeffisientene med 3, blir vi kvitt 6 i nevneren.
[tex]ab+ac+bc=0[/tex]
kan løses med prøving og feiling.
a=0, gir bc=0, så en av de andre røttene er 0, så ikke distinkte.
a=1, gir b=c=-2 som løsning, ikke distinkte.
a=2, gir b=-3,c=-6 som distinkte løsninger.
generelt får du:
[tex]b=-\frac{ac}{a+c}[/tex]
om [tex]a+c=\pm 1[/tex] får du en løsning som holder.
Siden vi må skalere med 3, er:
[tex]f(x)=(x-6)(x+9)(x+18)[/tex]
en løsning.
som har extremalpunkt: (-14,400) og (0, -972).
Det kan hende det er andre muligheter for å finne passende løsninger også.