matematikk.net

Tallet på gutter per uke etter T uker var gitt ved:


a) Finn ved regning når tallet på gutter var på det høyeste. Hvor mange gutter var det da?


Ekstra spm utenfor oppgaven, hva skal jeg gjøre hvis f.eks. jeg skal finne når det var f.eks. 300 gutter. Hvordan setter jeg opp likningen da, og hvordan løser jeg den ?

Håper på et hyggelig svar

Her må man først derivere med hensyn på x for å finne stigningen gutter per uke,

g'(T)=-150*[pi][/pi]/8*Cos[[pi][/pi]*T/8]
g'(T)=-75[pi][/pi]/4*Cos[[pi][/pi]*T/8]

Deretter tegner man et fortegnsskjema som forteller fortegnet til funksjonen og dens nullpunkter. Nullpunktene må da være ekstremalverdier og fortegnet får og etter forteller om det er et toppunkt eller et bunnpunkt.

....................................0............4......................12............16
..........................x-linje_[_______|_____________|________]__
(-75[pi][/pi]/4).......................--------------------------------------------------
....................Cos[[pi][/pi]*T/8]_______0-------------------0___________
............................g'(t)--[-----------0_____________0-------------]
............................................bunnpunkt............toppunkt

Verdien i toppunktet blir
g(12)=350-150Sin[[pi][/pi]/8*12]
g(12)=350-150Sin[[pi][/pi]*3/2]
g(12)=350-150*(-1)=350+150
g(12)=500

Det var når tiden var lik 12 uker den høyeste verdien med 500 gutter per uke

Når det gjelder det andre spørsmålet er det en vanlig likning, med vanlig trigonometriske funksjoner.

g(t)=300
350-150Sin[[pi][/pi]/8*T]=300
-150Sin[[pi][/pi]/8*T]=-50 |/(-150)
Sin[[pi][/pi]/8*T]=1/3
[pi][/pi]/8*T=arcsin[1/3]
T=arcsin[-1/3]*8/[pi][/pi]
T=0.87 uker eller T=7.14 uker

Dette kan også løses slik:

Bruk at verdien til sinus ligger mellom -1 og +1.

Maks.verdien blir derfor:

350 -150*(-1) = 350 + 150 = 500 (gutter per uke)


For å finne tilhørende verdi av T, løs likningen:

sin ([pi][/pi]*T/8) = -1 , når T er element i [0, 16]

[pi][/pi]*T / 8 = 3 [pi][/pi] /2 + n*2[pi][/pi]

T = 12 + n*16

T = 12 (ligger i intervallet [0, 16])


Ekstraspørsmålet:

350 - 150sin([pi][/pi]*T/8) = 300 , når T er element i [0, 16]

sin([pi][/pi]*T/8) = 1/3

[pi][/pi]*T/8 = 0,34 +n*2[pi][/pi] eller [pi][/pi]*T/8 = [pi][/pi] - 0,34 +n*2[pi][/pi]

T = 0,87 + n*16 eller T = 7,13 + n*16

Løsning:

T = 0,87 eller T = 7,13

Nice...

Tusen takk for ett bra og forklarende gjennomgang.