Varians

[Shopaholic]

I en straffesparkkonkurranse tar hvert av lagene A og B fem straffespart. Anta at sannsynligheten for at et straffespark resilterer i mål, er 0.8. La X være tallet på straffespark som gir mål for lag A og Y for straffespart som gir mpl for lag B. Anta at X og Y er uavhengige.

V=X-Y

Finn Var(V)

Har funnet ut at variansen til X (og Y) er Var(x)=0.8. Men ut i fra det jeg da forstår er Var(V) = Var(X)-Var(Y)=0.8-0.8=0. Dette går jo ikke? Variansen kan jo ikke 0.

Takk for hjelp

[mrcreosote]

Flott at du reflekterer over svaret du får er rimelig! Her er det som du skriver ikke det.

Feilen ligger i formelen for [tex]Var(X-Y)[/tex]. Slik kan vi utlede den riktige:

Siden [tex]Var(X) = E(X^2)-[E(X)]^2[/tex] er også [tex]Var(X-Y) = E((X-Y)^2)-[E(X-Y)]^2[/tex]. Det siste leddet er 0 siden X og Y er uavhengige med samme forventning. Vi får da [tex]Var(X-Y)=E(X^2-2XY+Y^2) = E(X^2)-2E(X)E(Y)+E(Y^2)[/tex]. Dette gjelder generelt, men når vi veit at [tex]E(X)=E(Y)[/tex] og [tex]E(X^2)=E(Y^2)[/tex] forenkler det til [tex]Var(X-Y)=2(E(X^2)-[E(X)]^2) = 2Var(X)[/tex].

Du kan jo forsøke å utlede [tex]Var(aX+bY) = a^2Var(X)+b^2Var(Y)[/tex] som gjelder så lenge X og Y er uavhengige. Jeg husker som regel formler mye bedre når jeg veit hvorfor de er som de er.