integrasjon

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

integrasjon

Innlegg stimorolextra » 03/02-2016 23:34

Oppgave 6.204 i sinus R2 2016-versjon:

"FIguren viser et flatestykke som er avgrenset av y-aksen, linjen y=2 og grafen f(x)=[tex]\sqrt{x}[/tex]

a) finn volum når vi dreier 360grader om x-aksen
b) finn volum når vi dreier 360grader om y-aksen.

Jeg har aldri vært borti grafer som har vært avgrenset av en y-akse før.... Hvordan gjør man det!? Jeg skjønner ingenting, blir feil svar når jeg regner på vanlig måte ved å ta pi*integralet av (f(x))^2. Da får jeg jo volumet av det mellom x-aksen og grafen, men jeg vil jo ha volumet av det skraverte området. Grafen skjærer y når x=4.
Kan jeg da ta volum av hele minus volum av det under grafen?
stimorolextra offline

Re: integrasjon

Innlegg Janhaa » 03/02-2016 23:58

b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.

[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Janhaa offline
Boltzmann
Boltzmann
Brukerens avatar
Innlegg: 8376
Registrert: 21/08-2006 02:46
Bosted: Grenland

Re: integrasjon

Innlegg stimorolextra » 04/02-2016 10:32

Janhaa skrev:b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]


Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?
stimorolextra offline

Re: integrasjon

Innlegg Aleks855 » 04/02-2016 12:38

stimorolextra skrev:
Janhaa skrev:b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]


Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?


$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6548
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: integrasjon

Innlegg stimorolextra » 04/02-2016 13:02

Aleks855 skrev:
stimorolextra skrev:
Janhaa skrev:b)
[tex]\large V_y=\pi \int_0^2 x^2\,dy=\pi \int_0^2 y^4\,dy[/tex]


Men jeg skjønner ikke hvordan man kan integrere med hensyn på y?


$y = \sqrt x \Rightarrow y^2 = x \Rightarrow y^4 = x^2$

Så når han skriver $\int x^2 \mathrm dy$ så er det det samme som $\int y^4 \mathrm dy = \frac{y^5}{5}+ C$ med påfølgende regning siden ditt integral er bestemt.


Men hvorfor y^4???
stimorolextra offline

Re: integrasjon

Innlegg sibbefrasandnes » 07/03-2021 13:56

Hvorfor y^4?
sibbefrasandnes offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 1
Registrert: 07/03-2021 13:54

Re: integrasjon

Innlegg geheffe » 07/03-2021 16:55

sibbefrasandnes skrev:Hvorfor y^4?


Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y
[tex]\pi \approx e \approx 2[/tex]
geheffe offline
Cayley
Cayley
Innlegg: 82
Registrert: 24/05-2019 14:11
Bosted: NTNU

Re: integrasjon

Innlegg Lamster24 » 16/04-2021 14:32

geheffe skrev:
sibbefrasandnes skrev:Hvorfor y^4?


Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y


Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)
Lamster24 offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 16/04-2021 14:20

Re: integrasjon

Innlegg Aleks855 » 16/04-2021 14:37

Lamster24 skrev:
geheffe skrev:
sibbefrasandnes skrev:Hvorfor y^4?


Siden [tex]y = f(x) = \sqrt{x}[/tex] blir [tex]y^4 = x^2[/tex]. Vi bytter altså ut [tex]x^2[/tex] med [tex]y^4[/tex].

Grunnen til at vi ønsker dette er at vi integrerer med hensyn på y, så da bør også uttrykket inne i integralet være en funksjon av y


Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)


Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt x$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6548
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Re: integrasjon

Innlegg Lamster24 » 16/04-2021 15:42

Hvorfor blir det x^2 til å begynne med?

Vil det si at volumet når det dreier rundt y-aksen alltid er ((f(x))^2)^2?
Altså ettersom at y = f(x) = x^(1/2)[/quote]

Nei, det blir ikke helt rett. Det Janhaa gjør i det første svaret er å invertere funksjonen slik at man kan bruke samme metode som når man dreier rundt x-aksen.

Den inverse funksjonen av $\sqrt x$ er $x^2$, og du kan se på det som å bytte om på x- og y-aksen etter dette, og bruke den vanlige metoden du ville brukt for å finne volumet av omdreiningslegemet rundt x-aksen.[/quote]


Takk for raskt svar! Da gir det mening

x^(1/2) blir x^(2/1), som igjen er x^2
Lamster24 offline
Fibonacci
Fibonacci
Innlegg: 2
Registrert: 16/04-2021 14:20

Re: integrasjon

Innlegg Aleks855 » 16/04-2021 18:25

Lamster24 skrev:x^(1/2) blir x^(2/1)


Tilfeldigvis, ja. Men det er ikke en pålitelig måte å invertere en funksjon på.

Mer generelt har vi opprinnelig funksjonen $y = \sqrt x$, og ønsker å få $x$ på én side. Opphøyer begge sider i $2$, og får $x = y^2$. Bytter vi nå om på variablene, får vi den inverse funksjonen $y = x^2$.
Bilde
Aleks855 offline
Rasch
Rasch
Innlegg: 6548
Registrert: 19/03-2011 15:19
Bosted: Trondheim

Hvem er i forumet

Brukere som leser i dette forumet: Google Adsense [Bot] og 71 gjester