Sannsynlighet - Fire kronestykker

[Gjest]

Hei, sitter med en oppgave her. Den lyder sånn:

Du kaster fire kronestykker. Hva er sannsynligheten for at du får

a) fire mynt
b) høyst tre krone
c) minst to krone.



Oppgave a er jo ganske simpel. Men b og c. Disse er jo lett, jeg kan jo selvfølgelig tegne opp et valgtre, og telle kombinasjonene og få 15/16 og 11/16. Eller jeg kan tegne opp alle kombinasjonene og legge sammen sannsynligheten på alle disse. Men dette er jo kjedelige metoder som tar "lang" tid. Finnes det ikke noe lettere måte? Metoden trenger nødvendigvis ikke å være 1MX.

Takk,
-E

[Gjest]

Du meiner - du vil ha ein metode som også fungerer fint dersom me hadde kasta til dømes 1000 kronestykke og ville finna sannsynet for at me fekk minst 365 mynt? Me må då ta for oss sannsynsfordelingar.

Dersom me kastar N mynter er sannsynet for at presis k av dei vert krone [N!/k!(N - k!)]/[2^N]. Dette er eit enkelt uttrykk av typen (talet på utfall med k mynter)/(talet på utfall totalt sett). Lagar me no eit plott der me langs x-aksen merker av ulike punkt k og langs y-aksen merker av sannsynet for k kroner, så vil me merka at plottet kan tilnærmast med ei glatt kurve (spesielt for høge N), og denne kurva - normalfordelingskurva - finst det tabeller over verdiane til. Dette er 3MX-pensum, trur eg, så det er berre å slå opp i læreboka der.

Di oppgåve kan løysast veldig lett, men med ein lite generell metode: La P(i) vera sannsynet for i kroner blant 4 mynter. Me har då P(0) = P(4) = 1/16 og P(1) = P(3) [kvifor?]. Vidare veit me at P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) = 1. I b) vil du ha 1 - P(4) = 15/16, medan i c) vil du ha P(2) + P(3) + P(4). La P(3) + P(4) = x. Du veit då at P(2) + 2x = 1, så x = [1 - P(2)]/2. Då er P(2) + x = [1 + P(2)]/2. Du treng altså berre finna P(2) = 6/16 og svaret vert 11/16.

[*Sorcerer*]

Det der synes jeg var en litt vanskelig måte å løse oppgaven på. Dette er et binomisk forsøk siden p er konstant og det er bare to forskjellige muligheter for hvordan en mynt kan lande og hendingene er uavhengige.

Fra 2MX boka mi:

I et binomisk forsøk gjør vi n uavhengige delforsøk og teller hvor mange ganger vi får en gunstig hending A. I hvert delforsøk er sannsynligheten for den gunstige hendingen lik p. Hvis X er tallet på gunstige hendinger, er

P(X = k) = (n over k)*p[sup]k[/sup]*(1-p)[sup]n-k[/sup]

så da får vi : a)

P(X = 4) = (4 over 4)*0.5[sup]4[/sup]*(1-0.5)[sup]4-4[/sup] = 0.0625 = 1/16

b)
P (ikke X = 4) = 1-0.0625 = 0.9375 = 15/16

c)
P(X = 2) = (4 over 2)*0.5[sup]2[/sup]*(1-0.5)[sup]4-2[/sup] = 0.375
P(X = 3) = (4 over 3)*0.5[sup]3[/sup]*(1-0.5)[sup]4-3[/sup] = 0.25
P(X = 4) = 0.0625
så legger vi de sammen og vi får 0.6875 som er 11/16

Dette er nesten det samme som inlegget over, men vi trenger ikke å bruke normalfordeling.