matematikk.net

Sitter å øver til eksamen i T-matte som er på tirsdag. Jeg trenger hjelp til en kapitteltest oppgave i boken, oppgave 4.E.
Oppgaven går sånn her:
Tenk deg at FrP på et gitt tidspunkt har oppslutning blant 20% av velgerne. Et målinginstitutt spør tilfeldig utvalgte på 1000 personer over 18 år hvilket parti de ville ha stemt på hvis det hadde vært stortingsvalg dagen etter.
Hva er sannsynligheten for at FrP vil få en oppslutning på meningsmålingene som er
a) høyst 18%
b) minst 22%
c) minst 18,5% og høyst 21,5%

Maggie skrev:Sitter å øver til eksamen i T-matte som er på tirsdag. Jeg trenger hjelp til en kapitteltest oppgave i boken, oppgave 4.E.
Oppgaven går sånn her:
Tenk deg at FrP på et gitt tidspunkt har oppslutning blant 20% av velgerne. Et målinginstitutt spør tilfeldig utvalgte på 1000 personer over 18 år hvilket parti de ville ha stemt på hvis det hadde vært stortingsvalg dagen etter.
Hva er sannsynligheten for at FrP vil få en oppslutning på meningsmålingene som er
a) høyst 18%
b) minst 22%
c) minst 18,5% og høyst 21,5%

Hei,

Jeg mener at dette ikke er pensum i matematikk 1T lenger. Binomisk sannsynligheter ble tatt ut, og læreboka di er nok eldre enn denne endringen.
For sikkerhets skyld, spør faglæreren din.

Hei Maggie,

Dersom du har tilgang til GeoGebra, kan du legge til de 4 påfølgende integral i ‘Skriv inn:’ feltet hver for seg:

Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),0,100]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),0,18]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),22,100]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),18.5,21.5]

Vi får da en oversikt over sannsynligheten for alle ulike utfall av stortingsvalget. Hver av svarene til a), b) og c) blir arealene under buen til den følgende virkningen i områdene henholdsvis [x=0,18], [x=22,100] og [x=18.5,21.5]:

f(x)=((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x)))

Denne virkningen kommer av regelen for ‘binomisk fordeling’, der vi setter inn følgende:
- sannsynligheten 0.2 som kommer av at oppslutningen til FrP blant befolkningen på 20%
- antall uavhengige forsøk som 100 (i stedet for 1000 tilfeldige personer velger vi 100 så vi kan bruke de oppgitte prosentene i oppgavene uten å endre de, nemlig som; 18, 22, 18.5 og 21.5)
- lar de ulike utfallene av stortingsvalget være utfallet x slik at vi kan legge til de ulike områdene som oppgavene spør etter i stedet for x i hver oppgave for seg.

Løsningene blir:
a) 0.32
b) 0.3
c) 0.29

En antakelse er at oppgaven er laget slik at en skal oppdage at løsningene er nesten like, selv om løsningene kommer av areal fra svært ulike områder under buen, der også lengden til områdene er ulike - der vi blant annet oppdager at området rundt samme utfall på stortingsvalget som oppslutning blant befolkningen (altså rundt 0.2 = 20% av stemmene) har større sannsynlighet enn andre utfall på stortingsvalget. Dersom du ser nærmere på de områdene som er valgt, ser vi at mellom 18 og 18.5, og mellom 21.5 og 22, svært mulig kunne laget to nye grenser som ble felles for de tre områdene og kunne fått lik sannsynlighet på hver oppgave (nemlig 0.333 ... = 33.3 ...%). Det sistnevnte er også noe som kan ha vært et formål at eleven skal oppdage - der vi ganske sikkert kan fastslå at skaperen av oppgaven unngikk å la svarene være like, for å heller kunne bruke heltall i oppgaven (da likt utfall på 0.333 ... = 33.3 ... % ville krevd bruk av deltal i tillegg).

På nivået 1T er etter det jeg vet ikke integral lært enda - alikevel om du lurer på denne oppgaven vil du nå ved å kunne bruke GeoGebra (som nå kun er for deg å klippe ut og lime inn) alikevel få sett en løsning.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Tom André skrev:Hei Maggie,

Dersom du har tilgang til GeoGebra, kan du legge til de 4 påfølgende integral i ‘Skriv inn:’ feltet hver for seg:

Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),0,100]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),0,18]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),22,100]
Integral[((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x))),18.5,21.5]

Vi får da en oversikt over sannsynligheten for alle ulike utfall av stortingsvalget. Hver av svarene til a), b) og c) blir arealene under buen til den følgende virkningen i områdene henholdsvis [x=0,18], [x=22,100] og [x=18.5,21.5]:

f(x)=((100!/(x!*(100-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(100-x)))

Denne virkningen kommer av regelen for ‘binomisk fordeling’, der vi setter inn følgende:
- sannsynligheten 0.2 som kommer av at oppslutningen til FrP blant befolkningen på 20%
- antall uavhengige forsøk som 100 (i stedet for 1000 tilfeldige personer velger vi 100 så vi kan bruke de oppgitte prosentene i oppgavene uten å endre de, nemlig som; 18, 22, 18.5 og 21.5)
- lar de ulike utfallene av stortingsvalget være utfallet x slik at vi kan legge til de ulike områdene som oppgavene spør etter i stedet for x i hver oppgave for seg.

Løsningene blir:
a) 0.32
b) 0.3
c) 0.29

En antakelse er at oppgaven er laget slik at en skal oppdage at løsningene er nesten like, selv om løsningene kommer av areal fra svært ulike områder under buen, der også lengden til områdene er ulike - der vi blant annet oppdager at området rundt samme utfall på stortingsvalget som oppslutning blant befolkningen (altså rundt 0.2 = 20% av stemmene) har større sannsynlighet enn andre utfall på stortingsvalget. Dersom du ser nærmere på de områdene som er valgt, ser vi at mellom 18 og 18.5, og mellom 21.5 og 22, svært mulig kunne laget to nye grenser som ble felles for de tre områdene og kunne fått lik sannsynlighet på hver oppgave (nemlig 0.333 ... = 33.3 ...%). Det sistnevnte er også noe som kan ha vært et formål at eleven skal oppdage - der vi ganske sikkert kan fastslå at skaperen av oppgaven unngikk å la svarene være like, for å heller kunne bruke heltall i oppgaven (da likt utfall på 0.333 ... = 33.3 ... % ville krevd bruk av deltal i tillegg).

På nivået 1T er etter det jeg vet ikke integral lært enda - alikevel om du lurer på denne oppgaven vil du nå ved å kunne bruke GeoGebra (som nå kun er for deg å klippe ut og lime inn) alikevel få sett en løsning.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Flott at du svarte Maggie. Merk at man kan bruke "Sannsynlighetskalkulator" på GeoGebra for dette. Da slipper man integraler og å definere funksjonen ovenfor.
Til slutt, binomisk fordeling er ikke pensum i 1T lenger og kommer derfor ikke på eksamen i morgen.

Hei euklid,

Takk for opplysningen.

I sannsynlighetkalkulatoren ved binomisk fordeling er det ikke mulig å skrive inn deltall. Derfor er måten svaret er gitt på nødvendig for å kunne bruke 18.5 og 21.5 til område for x som vist i svaret overfor.

Tom André Tveit skrev:Hei euklid,

Takk for opplysningen.

I sannsynlighetkalkulatoren ved binomisk fordeling er det ikke mulig å skrive inn deltall. Derfor er måten svaret er gitt på nødvendig for å kunne bruke 18.5 og 21.5 til område for x som vist i svaret overfor.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Ja, jeg forstår dette men her er mitt tips for å unngå dette problemet.
F.eks. [tex]P(18,5\leq X<19)=\frac{1}{2}P(X=18)[/tex] siden en binomisk fordeling er uniform på [tex][k-1,k)[/tex] der [tex]k[/tex] er et naturlig tall.
Da slipper man å bruke en kontinuerlig fordeling, og det er mulig å bruke sannsynlighetskalkulatoren.

Utvalget er jo på tusen personer, så 21,5 % av dette blir jo et helt tall.

Først noen sitat:

euklid skrev: Ja, jeg forstår dette men her er mitt tips for å unngå dette problemet.
F.eks. [tex]P(18,5\leq X< 19)=\frac{1}{2}P(X=18)[/tex] siden en binomisk fordeling er uniform på [tex][k-1,k)[/tex] der [tex]k[/tex] er et naturlig tall.
Da slipper man å bruke en kontinuerlig fordeling, og det er mulig å bruke sannsynlighetskalkulatoren.

claves skrev:Utvalget er jo på tusen personer, så 21,5 % av dette blir jo et helt tall.

claves skrev:

Hei euklid og claves,

Her ble det mye å ta tak i. Jeg har nå gitt et nytt svar til det opprinnelige spørsmålet. Fint at det er flere som bryr seg om at svar som blir gitt er riktige.

Hei Maggie,

Denne oppgaven kan løses på en del ulike måter. Det hadde vært interessant å høre hvilke hjelpemidler læreboken du tar oppgaven ut fra oppfordrer til å bruke.

Oppgaven gjelder en ‘binomisk fordeling’, der mengden uavhengige forsøk er så stor (1000), at vi ikke kan løse den ved hjelp av å integrere virkningen den ‘binomiske fordelingen’ gir, med de hjelpemidler vi har tilgjengelig. Derfor må vi bruke ‘normalfordeling’ til å løse oppgaven - som gir en virkning som er langt enklere å integrere - og vi kan ta i bruk GeoGebra dersom du har tilgang til dette. Uten å integrere selv, men å la GeoGebra utføre integreringen kan vi også bruke sannsynlighetkalkulatoren til å finne svarene, både ved hjelp av ‘binomisk fordeling’, og ved hjelp av ‘normalfordeling’ - i tillegg kan vi bruke sannsynlighetskalkulatoren til å sjekke svarene dersom vi integrerer selv. (Her kan det legges til et tillegg til de som skulle være interessert; dersom vi hadde hatt mulighet til å endre stegmengden de ulike integreringsvirkningene bruker, kunne vi nok funnet en tilnærmet løsning ved hjelp av å integrere virkningen vi får av ‘binomisk fordeling’ alene. Jeg antar at sannsynlighetskalkualtoren utfører en slik tilnærming - nettopp endrer stegmengden selv, når mengden uavhengige forsøk øker til slike mengder at vi vanligvis ville foretrukket en ‘normalfordeling’.)

Vi skal nå gå gjennom en løsning på oppgaven der vi først integrerer selv, og deretter sjekker løsningene ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren - i GeoGebra.

Vi skriver først ned mengden uavhengige forsøk n, sannsynlighet for den gunstige hendelsen p:

n=1000
p=0.2 da (20%=0.2)

Ved hjelp av å finne areal under buen som virkningen til ‘binomisk fordeling’ gir, kan vi finne sannsynligheter for ulike oppslutninger på meningsmålingen. 100% sannsynlighet er hele arealet fra 0 til 1000 - dette finner vi ved å bruke x i virkningen i et område fra 0 til 1000. De områder vi skal bruke til å løse de ulike oppgavene er som følger:

x fra 0 til 180 (da 18% gir 180)
x fra 220 til 1000 (da 22% gir 220)
x fra 185 til 215 (da 18.5% gir 185 og da 21.5% gir 215)

Den ‘binomiske fordeling’ gir da følgende løsninger for oppgavene:

Integral[((1000!/(x!*(1000-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(1000-x))),0,1000]
Integral[((1000!/(x!*(1000-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(1000-x))),0,180]
Integral[((1000!/(x!*(1000-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(1000-x))),220,1000]
Integral[((1000!/(x!*(1000-x)!))*((0.2)^x)*((1-0.2)^(1000-x))),185,215]

Men forøsker vi å legge disse til i GeoGebra ser vi at de ikke kan «defineres» på grunn av at n er for stor. Vi går da videre ved å heller bruke n og p i en ‘normalfordeling’, der vi først finner forventningsverdi u, varianse v og standardavvik s:

u=n*p=1000*0.2=200
v=Var(X)=n*p*(1-p)=1000*0.2*(1-0.2)=160
s=rot(Var(X))=rot(160)=4*rot(10)=12.64911064

Vi får da følgende virkning for ‘normalfordelingen’:

f(x)=Funksjon[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),0,1000]

Denne virkningen integrerer vi og får følgende løsninger på oppgavene:
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),0,1000]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),0,180]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),220,1000]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),185,215]

Et tillegg er at nøyaktigheten kan økes ved bruk av integrering på virkninger ved ‘normalfordeling’, ved å trekke fra minste grense 0.5 og legge til øvre grense 0.5. Vi får da følgende løsninger som er mer nøyaktige:
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),0-0.5,1000+0.5]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),0-0.5,180+0.5]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),220-0.5,1000+0.5]
Integral[((1/((√160)*(√(2*π))))*ℯ^(-(((x-200)^2)/(2*((√160)^2))))),185-0.5,215+0.5]

Vi har da funnet løsningene på oppgavene som blir:
a) ≈0.061584153332341≈0.0616
b) ≈0.061584153332341≈0.0616
c) ≈0.779568897778238≈0.7796

Vi sjekker nå disse løsningene ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren som ved ‘binomisk fordeling’ gir følgende løsninger:
a) ≈0.06019004≈0.0602
b) ≈0.06284149≈0.0628
c) ≈0.77966396≈ 0.7797

Og som ved ‘normalfordeling’ gir følgende løsninger (trekker fra og legger til henholdsvis nedre og øvre grense her også):
a) ≈0.06158415≈0.0616
b) ≈0.06158415≈0.0616
c) ≈0.77956889≈0.7796

Vi ser at løsningene vi har funnet ved integrasjon virker gode siden en sjekk ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren gir løsninger omlag lik disse. Det kan være greit å legge til at når vi regner i det hele tatt på nedhøging (rotregning), blir ofte utfallene avrundede - og når vi bruker ‘normalfordeling’ vil dette gi tilnærmede verdier til de riktige - og i tillegg vil regning ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren med så stor mengde uavhengige forsøk gi tilnærmede verdier også da det er begrenset hvor stor stegmengde datamaskinen kan bruke til en slik oppgave (vi ser blant annet at løsningene til a) og b) er ulike, da vi mest mulig kan forvente at de egentlig skulle vært like slik som vi ser ved 'normalfordelingene'). Vi kunne drøftet nøyaktighet mer, men dette vil mest mulig ikke være nødvendig i dette tilfellet.

Nå kan alle virkninger i dette svaret klippes ut fra svaret og limes inn i GeoGebra for å forsøke å løse oppgavene på samme måte selv - slik at du får en mulighet til å se hvordan denne oppgaven kan løses. Og mengdene som sannsynlighetskalkulatoren trenger for å utføre sjekkene, ligger tilgjengelig i svaret også.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Problemet med det du sier er at normalfordeling ikke er pensum i 1T

Alle svar som er gitt her er gode, men ser ut til å ikke ta hensyn til at dette er et T-mattespørsmål.

T inkluderer ikke binomisk fordeling, normalfordeling eller integraler.

Først noen sitat:

euklid skrev: Hei,

Jeg mener at dette ikke er pensum i matematikk 1T lenger. Binomisk sannsynligheter ble tatt ut, og læreboka di er nok eldre enn denne endringen.
For sikkerhets skyld, spør faglæreren din.

Fysikkmann97 skrev:Problemet med det du sier er at normalfordeling ikke er pensum i 1T :P

Aleks855 skrev:Alle svar som er gitt her er gode, men ser ut til å ikke ta hensyn til at dette er et T-mattespørsmål.

T inkluderer ikke binomisk fordeling, normalfordeling eller integraler.

Til euklid, Fysikkmann97 og Aleks855,

Se det påfølgende svaret for i det minste en måte å kunne besvare Maggie på - som også kanskje er den enkleste mulig måte med de hjelpemiddel vi har tilgjengelig. I forhold til læreplanen i matematikk 1T, vil en slik løsning av oppgaven kunne bli gjort på blant annet følgende grunner; 1. eksperimentering av uniforme og ikke-uniforme sannsynlighetsmodeller, 2. at ofte vil vanskelige oppgaver i lærebøker kunne legge til rette for utvikling mot mer viderekomne emner, og i så måte forsvare at ‘binomisk fordeling’ blir brukt.



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Hei Maggie,

Her er en enkel løsning på oppgaven du lurte på, ved bruk av GeoGebra:

Først endrer vi verdiene i oppgaven slik at de kan brukes i sannsynlighetskalkulatoren til GeoGebra:
μ=1000
σ=20%=0.2

I tillegg trenger vi områder for P(X) som blir for hver av oppgavene:
a) 18%*1000=180 gir P(0≤X≤180)
b) 22%*1000=220 gir P(220≤X≤1000)
c) 18.5%*1000=185 og 21.5%*1000=215 gir gir P(185≤X≤215)

Ved hjelp av disse mengdene, kan vi nå finne løsningene ved hjelp av sannsynlighetskalkulatoren innstilt på ‘binomisk fordeling’, der:
a) Ved å skrive inn μ=1000, σ=0.2 og P(0≤X≤180) gir 0.0602
b) Ved å skrive inn μ=1000, σ=0.2 og P(220≤X≤1000) gir 0.0628
c) Ved å skrive inn μ=1000, σ=0.2 og P(185≤X≤215) gir 0.7797



Med Vennlig Hilsen
Tom André Tveit
http://www.verda.no/

Fagspørsmål kan sendes til:
http://www.verda.no/bokmal/fagsporsmal.php

Det er klart at disse oppgavene er ment til å løses med bionomisk fordeling. Men iom. at slike oppgaver ikke skal komme i 1T lengre, er det i utgangspunktet ikke nødvendig å regne på de. Bøker endres ikke sammen med læreplanen ^^