Matematikk S1
Lagt inn: 28/11-2014 12:35
Hei. Noen som vet når et løsningsforslag på gårsdagens eksamen (høst 2014) i matematikk S1 vil bli lagt ut?
Eksamen S1 - Høst - 27.11.2014
Del I
$\large \text{Oppgave } 1$
a)
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
2x-10 & = x(x-5) \\
2(\color{blue}{x-5}) - x(\color{blue}{x-5}) & = 0 \\
(\color{blue}{x-5})(2-x) & = 0
\end{align*}
$
Altså er $x-5 =0$ eller $2-x=0$. Løsningene blir $x=5 \ \vee \ x = 2$.
Alternativt kunne vi brukt andregradsformelen. Ved å skrive ut og samle fås
$
x(x-5) - (2x-10) = x^2 - 7x + 10
$
Som gir at $x = \frac{ 7 \pm \sqrt{7^2 - 4(1)(10)} }{2\cdot 1} = \frac{1}{2}\left( 7 \pm 3\right)$. Akkuratt det samme som før
a)
$ \begin{align*}
\lg\left( \frac x2 \right) + 3 & = 5 \\
\frac x2 & = 10^{5-3} \\
x & = 2 \cdot 10^2 = 200
\end{align*}
$
Lite forklaring som trengs. Bruker at $a^{log_a(x)} = x$. Hvor $a=10$ for den brigske logaritmen $\lg(x)$.
$\large \text{Oppgave } 2$
Artig oppgave
$\hspace{1cm}
\begin{align*}
995 \cdot 995
& = (1000-5)(1000-5) \\
& = 1000^2 - 2 \cdot 5 \cdot 1000 + 25 \\
& = 10^6 - 10^4 + 25 \\
& = 990025
\end{align*}
$
Hvor det ble brukt at $(a-b)^2 = a^2 -2ab + b^2$.
$\large \text{Oppgave } 3$
$
\begin{array}{ccc}
2x & = & y - 4 \\
4x^2 + 3y & = & 12
\end{array}
$
Vi ganger øverste likning med $3$ forså å legge sammen likningene. Dette gir
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
3(2x) + (4x^2+3y) & = 3(y-4) + 12 \\
6x + 4x^2 & = 0 \\
3x(2+x) & = 0
\end{align*}
$
Altså er $x=0$ eller så er $x=-2$. Disse verdiene setter vi inn i første likning for
å finne de tilhørende $y$ verdiene.
$y - 4 = 2(0)$ så $y=4$.
$y- 4 = 2(-2)$ så $y=0$.
Løsningene blir altså $x=0 \ \wedge \ y = 4$ eller $x=-2 \ \wedge \ y = 0$.
En kunne selvsagt også løst første likning med hensyn på $y$, så $y = 2x-4$
og satt inn denne verdien i andre likning. Da ville en fått
$4x^2 + 3(2x-4) = 12 \ \Rightarrow 4x^2 + 6x = 0$
Akkuratt det samme som tidligere.
$\large \text{Oppgave } 4$
Her vil jeg bare bruke en regel, nemlig $\log a + \log b = \log ab$. Merk
at denne regelen også gjelder for negative tall, siden $\log a - \log b = \log a + \log \frac{1}{b}$.
Da har vi
$
\begin{align*}
\lg\left( \frac{a^2}{b} \right) + \lg( a^2 b^2 ) - \lg \left( \frac{b}{a }\right)
& = \lg\left( \frac{a^2}{b} \right) + \lg( a^2 b^2 ) + \lg \left( \frac{a}{b}\right) \\
& = \lg\left( \frac{a^2}{b} \cdot a^2 b^2 \cdot \frac{a}{b} \right)
= \lg \left( a^5 \right)
= 5 \lg a
\end{align*}
$
Som var det som skulle vises. Her kunne en og delt opp alle logaritmene men for mitt
eget hodet blir dette mer rotete enn praktisk.
$\large \text{Oppgave } 5$
a)
Direkte derivasjon gir
$ \hspace{1cm}
f(x) = -\frac{2}{3} \cdot 3x^{3-2} + 2x^{2-1} + 0
= -2x^2 + 2x
$
Hvor det kun potensregelen ble brukt altså at $\left( x^{n} \right)' = n x^{n-1}$, for alle $n$.
b)
Faktorisering gir oss direkte at $f'(x) = 2x(1-x)$. Eventuelle topp og bunnpunkter ligger altså
ved $x=1$ eller $x=0$. Den dobbelderiverte er $f''(x) = 2-4x$. Slik at $f'(0) = 2$, Altså
er $x=2$, x-koordinaten til et bunnpunkt. Bunnpunktet blir $\bigl(0,f(0)\bigr) = ( 0 , 2)$.
Videre så er $f''(1) = -4$. Så punktet $\bigl(1 , f(1) \bigr) = \bigl( 1 , 7/3)$ er ett toppunkt.
Anta at $f'(t^*) = 0$ da er $t^*$ x-koordinaten til toppunktet dersom $f''(t^*) < 0$, og bunnpunktet dersom $f''(t^*) > 0$.
Ellers er $t^*$ x-koordinaten til et saddelpunkt (trappepunkt elns på norsk)
c)
$f(3) = - 2 \cdot 3^2 + 3^2 + 2 = 3^2(1-2) + 2 = -7$
For negative verdier vokser $f$ mot uendelig. Altså $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \infty$.
Så synker funksjonen frem til den treffer topp og bunnpunktet som begge ligger over $x-aksen$.
Da kan ikke funksjonen ha noen nullpunkter i området $x \leq 1$. Siden funksjonen må vokse
fra bunnpunktet og frem til toppunktet. Etter toppunktet synker funksjonen monotont da $f'(x)=-2x^2 + 2x$ er
synkende for $x>1$. Samtidig så er $f(3)<0$. Ett fortegnsskjema hjelper også fint her, eller en figur
TIllegg:
Merk at vi kan og se at $\lim_{x \to \infty} f(x) = -\infty$. Så vi vet at alle polynomer av odde grad alltid har minst ett nullpunkt.
Hvorfor stemmer dette? Jo fordi når vi går i negativ x-retning vil enten $p(x)$ stige eller synke. Stiger den når $x$ minker, så
vil $p(x)$ synke når $x$ øker. Dette har med det ledende leddet i polynomet.
Det holder altså å vise at $f(x)$ ikke har to eller tre nullpunkt ved å si at topp og bunnpunktet til $f$ er på samme side av $x$-aksen.
Men å vise at dette utsagnet er tilsvarende med at $f$ har nøyaktig ett nullpunkt overlates til leser.
$\large \text{Oppgave } 6$
a)
Tja på hver plass har vi fire muligheter, $A$, $B$, $C$ og $D$. Dette gir oss
$P_A = 4^4 = 256$ ulike muligheter.
b)
På første plass har vi igjen fire muligheter. På neste plass har vi tre muligheter
siden en bokstav er brukt på første plass, og kan ikke brukes igjen. Dette gir
$P_B = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 4! = 24$ gyldige kombinasjoner.
c)
Kombinasjon av de to tidligere oppgavene. Dersom koden skal inneholde minst to like bokstaver er
dette det samme som å ta alle kombinasjonene og trekke fra de kombinasjonene hvor alle bokstavene er ulike.
For dersom ikke alle bokstavene er ulike, eksisterer det minst to av samme bokstav i koden. Vi får altså
$
P_C = P_A - P_B = 4^4 - 4! = 256 - 24 = 232
$ gyldige kombinasjoner, der minst to bokstaver er like.
$\large \text{Oppgave } 7$
a)
Enhetskostnaden blir
$
E(200) = 4 \cdot 200 + 1200 + \frac{2 \cdot 10^4}{2 \cdot 10^2}
= 2000 + 10^{4-2}
= 2100
$
Enhetskostnaden blir altså $2100$kr. Den samlede produksjonskostnaden blir
$K(x) = x \cdot E(x)$ så $K(200) = 200 \cdot 2100 = 4.2 \cdot 10^5$kr.
b)
Overskudd er jo bare inntekt minus kostnader (utgifter). Utgiftene vil da være $K(x) = x E(x)$
mins inntektene vil være $I(x) = 2000x$. Overskuddet blir dermed
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
O(x) & = I(x) - K(x) \\
& = 2000x - x \left( 4 x + 1200 + \frac{20000}{x} \right) \\
& = -4x^2 + 800x - 20000
\end{align*}
$
Som var det vi ønsket å vise.
c)
Direkte derivasjon gir
$
O'(x) = -8x + 800 = -8(x -100)
$
Overskuddet blir altså størst når bedriften produserer $x=100$ enheter. At dette faktisk er maks overskudd og ikke minimum overskudd
skyldes at den dobbelderiverte $f''(x) = -8$ er negativ.
Det største overskuddet bedriften kan ha er altså $O(100) = 20000$kr.
$\large \text{Oppgave } 8$
Noter at $(x+h)^3 = x^3 + 3h x^2 + 3h^2x + h^3$. Så
$(x+h)^3-x^3 = h (3x^2 + 3hx + h^2)$. Fra for eksempel Pascals trekant
eller binomialformelen.
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
\lim_{h \to 0} \frac{ f(x+h)-f(x) }{ h }
& = \lim_{h \to 0} \frac{\Bigl[ (x+h)^3 - (x+h)\Bigr] - \Bigl[ x^3 - x\Bigr] }{h} \\
& = \lim_{h \to 0} \frac{h(3x^2+3hx+h^2) - h}{h} \\
& = \lim_{h \to 0} 3x^2 + 3hx + h^2 - 1 \\
& = 3x^2 - 1
\end{align*}
$
Som var det som skulle vises. Merk at nøyaktig samme oppgave ble gitt på $R1$ eksamen.
er det mulig å få løsningsforalag på del 2 også eller?