Radius i sirkel

[Sanding]

Hei!
Sliter så fælt med denne:
Fra et punkt P trekker vi to linjer til en sirkel. Den ene linja har lengden 12 cm og tangerer sirkelen i A. Den andre linja går gjennom sentrum i sirkelen og skjærer sirkelen i punktene B og C. Avstanden PC er 10 cm. Finn radien i sirkelen.

Jeg ser at vinkel BAC er 90 grader, men greier ikke se hvordan jeg skal løse dette! Ser ikke at jeg får laget meg noen flere 90-gradersvinkler uten å "ødelegge" for de to sidene jeg har. Takknemlig om noen har et lite tips på vei for meg!
Hilsen Sanding

DSC04538.JPG (200.17 kiB) Vist 6107 ganger

[Lektorn]

Tips: Se på trekanten SPA.


PS. Punktets potens vil gi en kjapp/enkel løsning men den teorien er tatt ut fra Sinus ihvertfall.
DS.

[Sanding]

Hmmm... greier ikke se hvordan jeg kan finne ut hvor stor den er! Jeg kjenner jo ikke lengden av SC, og dermed ikke hele lengden av SP.
Det forvirrer meg at A ikke ligger på midtnormalen til BC!

Egentlig ser jeg heller ikke hva som skal forhindre den sirkelen fra å være kjempestor!
De eneste opplysningene jeg har er jo at to linjer på 10 og 12 cm tangerer sirkelen, og det er jo ikke opplyst at A ligger på noen bestemt plass på sirkelen...
Takk for tipset om punktets potens! Det må jeg sjekke ut:)

[Lektorn]

SA = SC = radius
Hva er vinkelen mellom tangenten og radiusen ut til tangeringspunktet?

[Sanding]

Du mener vinkelen CSA?
Nå har jeg målt med gradskiva, og funnet at vinkel SAP er 90 grader! Regner med at det er noe jeg burde lest ut fra figuren, men ser ikke helt hvordan!

[Lektorn]

Jeg mener vinkelen SAP.
Vinkelen mellom en sirkeltangent og radien til tangeringspunktet er alltid 90 grader.

[Sanding]

Åjaaa!
Beklager at jeg er så tunglært, tusen takk for at du gidder å svare!:)
Skjønte ikke hva det betydde at AP tangerte sirkelen, og ikke bare stoppa i punkt A!
Nå er oppgaven endelig løst, det gjorde godt! God natt!:)

[Gjest]

Kan dere gi en mer utdypende forklaring?

[Oyan]

Vinkelen PAO er 90 grader ( En tangent står alltid 90 grader til en vilkårlig radius i sirkelen)

Sirkel (2).png (2.84 MiB) Vist 5439 ganger

Med radius r, kan vi nå bruke pytagoras til å beregne r:


[tex](PC+CO)^2-OA^2 = AP^2[/tex]
med [tex]CO = OA = r[/tex] får vi
[tex](10+r)^2-r^2 = 12^2[/tex]
[tex]100+r^2+20r-r^2 = 144[/tex]
[tex]20r = 44[/tex]
[tex]r = 2,2[/tex]

[Drezky]

[tex](PC+r)^2-r^2 = AP^2[/tex]
[tex](10+r)^2-r^2 = 12^2[/tex]
[tex]100+r^2+20r-r^2 = 144[/tex]
[tex]20r = 44[/tex]
[tex]r = 2,2[/tex]

Alternativt så kan vi anvende punktets potens som det har blitt nevnt oppe her før:

[tex]PC*PB=PA^2\Longleftrightarrow PB=\frac{PA^2}{PC}=\frac{\left ( 12cm \right )^2}{10cm}=14.4cm[/tex]

Men siden [tex]PB=PC+CB=PC+D=PC+2r\Longleftrightarrow r=\frac{PB-PC}{2}=\frac{14.4-10}{2}=2.2[/tex]