Grenseverdi

[trengerhjelpmedr1]

$\lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^2+x}-x)$

Her bruker jeg L'Hopitals regel, og finner den deriverte av leddene. Jeg må bruke kjerneregelen på kvadratroten:

$\lim_{x\to \infty}(\frac{2x+1}{2\sqrt{2x+1}}-1)$

Har jeg gjort riktig så langt?

Herfra er jeg litt usikker. Brøken sier jo $\frac{\infty}{\infty}$, og jeg vet ikke helt hvordan jeg skal tolke det. Går det mot 0? I såfall skulle vel svaret blitt -1, men det er ikke riktig.

[Oddis88]

[tex]\sqrt{x^2+x}-x = \sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})[/tex] = [tex]\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}[/tex]

Herfra kan du bruke l'hopitals. Dette er jo en kranglete vei , men jeg får at grensen går mot 1/2

[trengerhjelpmedr1]

[tex]\sqrt{x^2+x}-x = \sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})[/tex]

[tex]\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})[/tex] = [tex]\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}[/tex]

Herfra kan du bruke l'hopitals. Dette er jo en kranglete vei , men jeg får at grensen går mot 1/2

Jeg er veldig interessert i overgangen fra $\sqrt{x^2+x}-x$ til $\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})$ Hva gjør du her?

[Oddis88]

[tex]x+y=x(1+\frac{y}{x})[/tex] bruker denne algebraiske regelen

[Vektormannen]

Et litt enklere alternativ er å utvide uttrykket til en brøk med den konjugerte i nevneren: [tex]\sqrt{x^2 + x} - x = (\sqrt{x^2 + x} - x) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + x} + x}{\sqrt{x^2 + x} + x}[/tex]. Poenget med dette er at vi da i telleren får [tex](\sqrt{x^2 + x} - x)(\sqrt{x^2 + x} + x) = x^2 + x - x^2 = x[/tex] (konjugatsetningen / 3. kvadratsetning). Da blir resten av utregningen ganske grei (blir ikke nødvendig med L'Hopital osv.)

[trengerhjelpmedr1]

[tex]x+y=x(1+\frac{y}{x})[/tex] bruker denne algebraiske regelen

Jeg prøver å forstå hva som skjer her: Er det mulig å gi en kort forklaring, sånn at jeg forstår det bedre?

[tex]\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}})[/tex] = [tex]\frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}[/tex]

[Oddis88]

[tex]\sqrt{x^2+x}(1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}) = \frac{\frac{1-\frac{x}{\sqrt{x(x+1)}}}{1}}{\sqrt{x^2+x}}[/tex]

Her benytter jeg meg av at [tex]x \cdot y = \frac{x}{\frac{1}{y}}[/tex] Der [tex]y \neq 0[/tex]

Beklager for så sent svar. Si i fra hvis det er noe mer du lurer på. Så kommer vi helt i mål til slutt Morsom oppgave.

Vektormannen har et meget godt poeng når han sier at hans måte er enklere.