matematikk.net

Hei

Jeg skal forklare at hvis vektorene u, v og w ligger i samme plan, så er vektor u multiplisert med kryssproduktet av v og w lik null. (Kan jeg bruke ekvivalens her?)

Jeg har kommet fram til tre mulige forklaringer:

Enten så har vi at
1. Vektor u står normalt på kryssproduktet av vektor v og w. Da er u parallell med v eller w. Altså ligger de tre vektorene i samme plan.

Eller så er
2. Vektor u er lik nullvektoren. Nullvektoren er parallell med enhver vektor. Altså ligger de tre vektorene i samme plan.

Eller så er
3. Kryssproduktet av vektor v og w er lik null. Da er vektor v parallell med vektor w. Altså ligger de tre vektorene i samme plan?

Er dette riktig, eller finnes det bedre måter å uttrykke svaret på? Jeg setter stor pris på all hjelp

Det er flere måter å se dette på. Oppgaven går ut på å vise at hvis vektorene u,v og w ligger i samme plan så må [tex]u\cdot (v\times w)=0[/tex].
Dette er en bevisoppgave, så det vi ønsker er å lage en argumentkjede fra antagelsen (u,v,w ligger i samme plan) slik at vi kan konkludere med det vi
ønsker å vise.

I forklaringene dine antar du at det du skal vise er sant og argumenterer for at antagelsen er sann. Du går altså i feil retning!
Tankegangen du viser i forklaringene dine er gode, men du må vri litt på dette for å få fram det oppgaven faktisk spør om.

Så for å konstruere dette beviset starter vi med å se hva vi kan få ut av antagelsen. Det vi vet er at vektorene
u,v og w ligger i samme plan.

Hvis v og w er parallelle så er kryssproduktet 0 og vi er ferdige. Så vi antar at v og w ikke er parallelle. Da kan enhver vektor i planet
skrives som [tex]s\vec{v}+t\vec{w}[/tex] for noen reelle tall s og t. Dette følger fra at et plan kan parameteriseres på denne måten
for to ikke parallelle vektorer i planet (hvis du ikke har lært dette, er det en annen måte å gå fram på lenger nede).
Dermed siden u ligger i det samme planet finnes tall s og t slik at [tex]u=s\vec{v}+t\vec{w}[/tex].

Kryssproduktet mellom v og w danner en vektor som står normalt på både v og w. Så dermed har vi at
[tex]\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=(s\vec{v}+t\vec{w})\cdot(\vec{v}\times \vec{w})=s\vec{v}\cdot(\vec{v}\times \vec{w})+t\vec{w}\cdot(\vec{v}\times \vec{w})=0+0=0[/tex]

Hvilket var nettopp det vi ville vise.

Dette kan nok virke ganske komplisert i starten, men tankegangen i beviser blir lettere å forstå ettersom man arbeider mer med det!

Her er en annen måte å gå fram på. Her går jeg ikke gjennom hele beviset men gir heller noen ideer så kan du utarbeide argumentet.

Geometrisk så er størrelsen vi er ute etter å finne, [tex]u\cdot (v\times w)=0[/tex], volumet til parallellpipedet utspent av u,v og w.
Hvis u,v og w ligger i samme plan hva kan du si om dette volumet?

Si fra hvis noe er uklart!