matematikk.net

Hei!

Mine spørsmål er skrevet med tykk skrift

Eksempel fra boka

lg(4-x) + lgx = lg4

4-x og x må være større enn null. (Mitt spørsmål her er at 4-x og x må være større enn null på grunn av at vi ikke kan ta logaritmen til et tall som er negativt. Er jeg på rett vei??


lg(4-x) + lgx = lg4 --------------------------->Det jeg tenkte man kunne gjøre her var slik: 10^lg(4-x) + 10^lgx = 10^lg4, men det går tydeligvis ikke, hvorfor??

lg((4-x) * x) = lg4

10^lg((4-x) * x) = 10^lg4

(4-x) * x = 4

4x - x^2 = 4

x^2 - 4x + 4 = 0

Equa

x= 2

Ja, det stemmer at $4-x$ og $x$ må antas $>0$ i denne oppgaven. Hadde du kommet frem til en negativ verdi for $x$, så ville det vært en selvmotsigelse. Noe annet ville være om oppgaven var definert som $\lg{|4-x|} + \lg{|x|} = \lg{4}$ (altså med absoluttverdier).

Du kan ikke skrive $10^{\lg{4-x}} + 10^{\lg{x}} = 10^{\lg{4}}$ rett og slett fordi det er feil i forhold til algebraiske regler. Tenk deg hvis det i stedet for den opprinnelige ligningen hadde stått $5+2=7$. Det er jo lett å se at $10^5+10^2=100100 \neq 10000000 = 10^7$...

Generelt at du jo at $A+B=C \Rightarrow D^{A+B}=D^C$, slik det står i resten av utregningene...

Du har helt rett i det første du sier, logaritmen er ikke definert for negative tall så lenge man arbeider med de reelle tallene.
Det er heller ikke så vanskelig å se hvorfor ved å se på definisjonen av logaritmen.
Hvis vi har [tex]10^x=b[/tex] så er [tex]lg(b)=x[/tex]
Hva skjer hvis b er negativ, kan du finne et tall x slik at dette er oppfylt da?

Til det andre spørsmålet. Når du regner ligninger må du alltid gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet for å
opprettholde likheten. Så når du tar 10 opphøyd i hele uttrykket på høyresiden må du også ta 10 opphøyd i hele uttrykket på venstresiden.
Du kan altså ikke gjøre det ledd for ledd.
Hadde følgende vært tilfelle
[tex]10^{lg(4-x)+lg(x)} = 10^{lg(4-x)}+10^{lg(x)}[/tex]
ville det du ønsket å gjøre være lovlig, men dette holder kun for en verdi av x.
Dette kan du se ved å sette inn noen verdier for x og se om begge sidene er like, eller arbeide videre med uttrykket og se
hva du kommer frem til.

Det som ville blitt riktig og som også er ekvivalent med den løsningen du viste er dette
[tex]lg(4-x)+lg(x)=lg(4)[/tex]
[tex]10^{lg(4-x)+lg(x)}=10^{lg(4)}[/tex]

Da ville du ved å bruke potensreglene kommet frem til akkurat samme svaret.

For å gjøre det mer generelt hvis du har
[tex]lg(a)+lg(b)=lg(c)[/tex] hvor [tex]a,b,c>0[/tex] så er
[tex]10^{lg(a)+lg(b)}=10^{lg(c)}[/tex]
[tex]10^{lg(a)}\cdot 10^{lg(b)}=10^{lg(c)}[/tex]
[tex]a\cdot b= c[/tex]

Tusen takk! Determined og Brahmagupta! Det hjalp mye . og jeg skjønner det dere forklarte!