Differensiallikning - Kast i tyngdefelt, positiv retning?

[poi]

Hei, jeg lurer på hvorfor jeg får et annet svar (og dermed feil svar) når jeg definerer positiv retning nedover i denne oppgaven. Jeg får riktig svar når jeg definerer positiv retning oppover.

Oppgaven er som følger:
En ball med massen [tex]0,15 kg[/tex] blir kastet rett oppover med en startfart på [tex]20 m/s[/tex]. Anta at luftmotstanden er gitt ved [tex]L=kv[/tex], der [tex]k=\frac{1}{30}kg/s[/tex] og [tex]v[/tex] er farten til ballen.
Jeg ønsker å finne ut når farten til ballen blir 0

Jeg får riktig svar når jeg definerer positiv retning oppover og får følgende sammenheng: (Startfarten [tex]v_{0}[/tex] blir da [tex]20[/tex])
[tex]-G-L=ma[/tex]
[tex]-mg-kv=m{v}'[/tex]
Og løser følgende difflikning: [tex]{v}'-\frac{k}{m}v=g[/tex]

Men jeg får feil svar hvis jeg gjør følgende; definerer positiv retning nedover og setter opp følgende sammenheng: (Startfarten [tex]v_{0}[/tex] blir da negativ [tex]-20[/tex])
[tex]G+L=ma[/tex]
[tex]mg+kv=m{v}'[/tex]
Og løser følgende difflikning: [tex]{v}'+\frac{k}{m}v=-g[/tex]
Multipliserer med integrerende faktor
[tex]{(v\exp^{-\frac{k}{m}t})}'=g\exp^{-\frac{k}{m}t}[/tex]
[tex]v\exp^{-\frac{k}{m}t}=g\int \exp^{-\frac{k}{m}t}dt[/tex]
C blir da:
[tex]C = v_{0}+\frac{mg}{k}[/tex]
Det gir:
[tex]v={-\frac{mg}{k}}+(v_{0}+\frac{mg}{k})exp^{\frac{k}{m}t}[/tex]
Setter inn tall
[tex]v=-44.145+24.145exp^{\frac{2}{9}t}[/tex]
Hvis vi da løser [tex]v(t)=0[/tex] får vi [tex]t=2.72s[/tex], noe som er feil. Riktig svar skal være [tex]t=1.68s[/tex]

[poi]

Fant en mulig forklaring rett etter at jeg skrev innlegget.

Hvis jeg definerer positiv retning nedover så vil farten [tex]v[/tex] i luftmotstanden [tex]L = kv[/tex] være negativ og [tex]L[/tex] blir da negativ. Dermed må sammenhengen skrives [tex]G - L = ma[/tex] for at kreftene som luftmotstanden virker med på ballen skal virke i riktig retning. Da får jeg iallefall riktig svar.

Ellers er jeg usikker på om en slik sammenheng (uavhengig om positiv retning oppover eller nedover) fortsatt vil stemme når ballen får farten 0 og begynner å falle nedover. Men det er uansett ikke relevant å finne ut av for å løse oppgaven.

[mikki155]

Både gravitasjonen og luftmotstanden virker nedover, men i det siste du skrev virker det som om den virker oppover. Definerer du summen av kreftene nedover, får du følgende sammenheng:

[tex]ma = mg + kv[/tex]

[tex]v' = g + \frac {k}{m}v[/tex]

Trekk fra siste ledd på begge sider, så får du:

[tex]v' - \frac {k}{m}v = g[/tex], og resten klarer du selv.

Du får ikke [tex]v' + \frac {k}{m}v = -g[/tex], slik du skrev tidligere, så du har bare gjort en liten regnefeil =)

Edit: Det virker som at feilen oppstår når du setter at startfarten skal være negativ. Hvis du ser på likningen (og positiv retning er oppover) [tex]v' - \frac {k}{m}v = g[/tex], ser du at du vil få positiv verdi for g når du setter inn negativ verdi for farten. g blir negativ når farten er positiv og akselerasjonen negativ, når du velger positiv retning oppover. Ikke tenk på verdier du kan sette inn når du regner ut med symboler.