Hvordan beregne inverse trigometriske funksjoner

[Gjest]

Jeg lurer på hvordan man kan beregne inverse trigometriske funksjoner. Læreren trodde at man for.eks kunne finne verdier ala (cos^-1 (34)) ved hjelp av Fourier-analyse.

Takker for eventuelle svar

[ingentingg]

Definisjonsområde til arccos er fra -1 til 1.
Man kan ikke finne arccos34
Det eksisterer ikke.

[Gjest]

Beklager, jeg glemte visst en null fremfor 34.

[Gjest]

Er ikke Fourier en frekvensanalyse, og en baklengsprosess/regresjon av eksisterende data?

Har ikke så mye peil på matematikken bak det, men vet at det brukes for å kartlegge svingninger i f.eks lydsignaler ved dele opp signalet i ulike frekvensbånd for så å finne amplituden/styrken for hver frekvens.

[ingentingg]

Fourieranalyse har med løsning av bølge likninger hvor man har ulike randkrav. Man summerer en mengde bølger, (opp til uendelig) for å få et svar. Brukes for eksempel til å løse differensial likninger. Schrødingers likning for partikler osv.

For å finne arccos0,34 kan man alltids taylorutvikle arccos om 1/2, noe som ikke skal være så veldig vanskelig. Vil vel få noe brukbart med et par ledd.

[pi][/pi]

[Solar Plexsus]

En velkjent måte å beregne de inverse trigonometriske funksjoner på, er vha. integrasjon av potensrekker. F.eks kan tan[sup]-1[/sup] x beregnes ved å ta utgangspunkt i integralet

(1) tan[sup]-1[/sup]x = [itgl][/itgl] dt/(1 + t[sup]2[/sup]) med nedre integrasjonsgrense a=0 og øvre integrasjonsgrense b=x.

Vha. formelen for uendelig geometriske rekker har vi at integranden

(2) 1/(1 + t[sup]2[/sup]) = 1 - t[sup]2[/sup] + t[sup]4[/sup] - t[sup]6[/sup] +....+ (-t[sup]2[/sup])^n +....

for -1<t<1. Ved å kombinere (1) og (2) får vi at

tan[sup]-1[/sup]x = [itgl][/itgl] (1 - t[sup]2[/sup] + t[sup]4[/sup] - t[sup]6[/sup] +....+ (-t[sup]2[/sup])^n +....)dt med a=0 og b=x
= [t - (t[sup]3[/sup]/3) + (t[sup]5[/sup]/5) - (t[sup]7[/sup]/7) + ... + (-1)[sup]n[/sup] t[sup]2n+1[/sup]/(2n+1) + ....] med a=0 og b=x
= x - (x[sup]3[/sup]/3) + (x[sup]5[/sup]/5) - (x[sup]7[/sup]/7) + ... + (-1)[sup]n [/sup]x[sup]2n+1[/sup]/(2n+1) + ....

når -1<x<1.

På tilsvarende måte (riktignok litt mer komplisert) kan vi å gjennom å benytte integralet sin[sup]-1[/sup]x = [itgl][/itgl]dt/kv.rot(1-t[sup]2[/sup]) med a=0 og b=x finne en uendelig konvergent potensrekke for sin[sup]-1[/sup]x. Binomialformelen gir

(3) 1/kv.rot(1-t[sup]2[/sup]) = 1 + (1/2)t[sup]2[/sup] + (3/8)t[sup]4[/sup] + (5/16)t[sup]6[/sup] + ... + [(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))] t[sup]2n[/sup] +...

for -1<x<1. Ved leddvis integrasjon av høyre side av (3) blir resultatet at

(4) sin[sup]-1[/sup]x = x + (1/6)x[sup]3[/sup] + (3/40)x[sup]5[/sup] + (5/112)x[sup]7[/sup] +...+ [(1*3*5*...*(2n-1))/(2*4*6*...*(2n))] *[x[sup]2n+1[/sup]/(2n+1)] +...

for -1<x<1. Ved å anvende (4) og formelen cos[sup]-1[/sup]x = sin[sup]-1[/sup]x - ([pi][/pi]/2) kan man også beregne cos[sup]-1[/sup]x.

[Gjest]

Takk