matematikk.net

f(x) = 1/x , x>0

a) Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f, linja x=1 og x=a der a>1. Finn arealet av F.

b) Vi dreier flatestykket F 360 grader om x-aksen. Finn volumet av den omdreiningsgjenstanden vi da får fram.

c) Hva skjer med arealet av flatestykket og volumet av omdreiningsgjenstanden når a -> [symbol:uendelig] ?

Mine svar:

a) A[sub]F[/sub] = ln(a)

b) V = [symbol:pi] - [symbol:pi]/a

c) Når a -> [symbol:uendelig] vil A[sub]F[/sub] = ln(a) -> [symbol:uendelig] og V = [symbol:pi] - [symbol:pi]/a -> [symbol:pi]

Har jeg gjort riktig på c)?

Tja volumet ditt er riktig, konklusjonen din er riktig.

Dog er ikke overflaten av legemet ditt lik det du fikk i a. Derimot er arealet (overflaten) til en funksjon som vi dreier omkring x, aksen gitt ved

[tex]2\pi\int_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f^{\tiny\prime}(x)\right)^2}[/tex]

Derimot, så vil det du regnet ut i a, være en uendelig tynn skive av overflaten. En strek om du vil.

Og du kan uten å bruke formelen ovenfor argumentere for at dersom en svært tynn linje av overflaten går mot uendelig, vil også selve overflaten gå mot uendelig.

Oppgaven her dreier seg om et matematisk fenomen kalk Gabriels horn, og er et av matematikkens store paradokser.

Her beskriver vi et horn, som vi kan fylle med en endelig væske, men aldri kan klare å male. Dette er litt tøft

http://en.wikipedia.org/wiki/Gabriel%27s_Horn

Tusen takk!

Men skulle jeg ikke bare finne arealet av flatestykket avgrenset av x-aksen, x=1 og x=a der a>0 og se hva svaret ville gå mot når a går mot uendelig?
Tror ikke det er meningen av jeg skal ha arealet av selve omdreiningslegemet.

Jo, du har nok rett. Stilig problem usansett =)