[tex]\large\int \text\frac{dx}{(1-\cos(x))^2[/tex]
Kan noen hjelpe meg i gang med denne? Jeg finner ikke et passende substitusjonsuttrykk
Integraler schmintegraler
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Innser med ett at dette integralet er litt vanskeligere enn det ser ut som, og definitivt over mitt utdanningsnivå!
Selv når du sier at jeg burde bruke den substitusjonen klarer jeg ikke å se hvorfor, og ikke klarer jeg å derivere den heller
Finnes det noe litteratur eller videoer man kan anbefale for noen som kun har hatt forkurs ingeniør? Det er vel ca. R1-nivå, men mer et utvalg av det stoffet som er relevant for ingeniørfag.
Selv når du sier at jeg burde bruke den substitusjonen klarer jeg ikke å se hvorfor, og ikke klarer jeg å derivere den heller
Finnes det noe litteratur eller videoer man kan anbefale for noen som kun har hatt forkurs ingeniør? Det er vel ca. R1-nivå, men mer et utvalg av det stoffet som er relevant for ingeniørfag.
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... 42&start=0
Løsninga på integralet finnes på linken over (side 1). Der brukes trigonometrisk substitusjon, såkalt Weierstrass subs.
Løsninga på integralet finnes på linken over (side 1). Der brukes trigonometrisk substitusjon, såkalt Weierstrass subs.
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Holy crap. Litt over mitt hode, men la det ikke sies at jeg ikke fullfører!
Ok, jeg googla det, og ser at man kan skrive cosx som [tex]\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]
Betyr det at integranden kan skrives på nytt som [tex]\frac{1}{(1-(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}[/tex] ?
Og må man da bytte ut dx med [tex]\frac{2}{1+u^2}du[/tex] ?
Ok, jeg googla det, og ser at man kan skrive cosx som [tex]\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]
Betyr det at integranden kan skrives på nytt som [tex]\frac{1}{(1-(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}[/tex] ?
Og må man da bytte ut dx med [tex]\frac{2}{1+u^2}du[/tex] ?
det skal stemme...Aleks855 skrev:Holy crap. Litt over mitt hode, men la det ikke sies at jeg ikke fullfører!
Ok, jeg googla det, og ser at man kan skrive cosx som [tex]\frac{1-u^2}{1+u^2}[/tex]
Betyr det at integranden kan skrives på nytt som [tex]\frac{1}{(1-(\frac{1-u^2}{1+u^2})^2}[/tex] ?
Og må man da bytte ut dx med [tex]\frac{2}{1+u^2}du[/tex] ?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Greit å vite hvorfor man kan gjøre dette og =)
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
http://planetmath.org/encyclopedia/Weie ... mulas.html
Alle trigonometriske problem, kan bli omformet til algebraiske problem ved å bruke Wierstrass-substitusjon.
Grunnen til at man ikke så ofte bruker denne, er at disse algebraiske problemene man ofte ender opp med, er mye vanskeligere enn det originale problemet. Et godt tips til når man skal bruke denne metoden, er når alt annet failer, eller når vi at et svært "enkelt" utttrykk. Helst bare en eller to trigonometriske funksjoner. Eksempler under, hvor denne metoden funker fjell.
[tex]I_1 \, = \, \int \sqrt{1-cos(x)} dx[/tex]
[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]
Steder hvor denne ikke slå ann like bra
[tex]I_3 \, = \, \int \cos(x)^4 - \sin(x)^4 dx[/tex]
I_3 er et veldig enkelt integral, men blir fort uhorvelig komplisert om man begynner med weierstrass substitusjon.
------------------------------------------
Neste steget blir å vise hvordan
[tex]-\frac{1}{2\tan(\frac{x}{2})}-\frac{1}{6\tan^3(\frac{x}{2})}+C = \frac{sin(x)\left( cos(x) - 2 \right)}{2 \left( cos(x) - 1 \right)^2 }+C[/tex]
Eventuelt løse integralet på en annen måte
http://en.wikipedia.org/wiki/Weierstrass_substitution
http://planetmath.org/encyclopedia/Weie ... mulas.html
Alle trigonometriske problem, kan bli omformet til algebraiske problem ved å bruke Wierstrass-substitusjon.
Grunnen til at man ikke så ofte bruker denne, er at disse algebraiske problemene man ofte ender opp med, er mye vanskeligere enn det originale problemet. Et godt tips til når man skal bruke denne metoden, er når alt annet failer, eller når vi at et svært "enkelt" utttrykk. Helst bare en eller to trigonometriske funksjoner. Eksempler under, hvor denne metoden funker fjell.
[tex]I_1 \, = \, \int \sqrt{1-cos(x)} dx[/tex]
[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]
Steder hvor denne ikke slå ann like bra
[tex]I_3 \, = \, \int \cos(x)^4 - \sin(x)^4 dx[/tex]
I_3 er et veldig enkelt integral, men blir fort uhorvelig komplisert om man begynner med weierstrass substitusjon.
------------------------------------------
Neste steget blir å vise hvordan
[tex]-\frac{1}{2\tan(\frac{x}{2})}-\frac{1}{6\tan^3(\frac{x}{2})}+C = \frac{sin(x)\left( cos(x) - 2 \right)}{2 \left( cos(x) - 1 \right)^2 }+C[/tex]
Eventuelt løse integralet på en annen måte
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ok, begynner å se hvordan det brukes. Men jeg sliter enormt med å forenkle integranden etter substitusjonen.
Ta f.eks. det andre eksempelet ditt.
[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]
[tex]\int \frac{x}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \ \cdot \ \frac{2}{1+t^2}dt[/tex]
[tex]\cancel{\int \frac{2x}{1+t^2+\frac{2t}{1+t^2}(1+t^2)}dt}[/tex]
Roter meg enormt bort her. Prøvde å se eksemplene på Wikipedia, men de hopper pent over alt det stygge
Ta f.eks. det andre eksempelet ditt.
[tex]I_2 \, = \, \int \frac{x}{1+\sin(x)} dx[/tex]
[tex]\int \frac{x}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \ \cdot \ \frac{2}{1+t^2}dt[/tex]
[tex]\cancel{\int \frac{2x}{1+t^2+\frac{2t}{1+t^2}(1+t^2)}dt}[/tex]
Roter meg enormt bort her. Prøvde å se eksemplene på Wikipedia, men de hopper pent over alt det stygge
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Du har glemt å bytte ut den x`en du har =)
[tex]\frac{1}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \, = \, \frac{1}{\frac{1-t^2+2t}{1-t^2}} \, = \, {\frac{1-t^2}{1-t^2+2t}}[/tex]
osv
Og det skulle egentlig ha vært cos og ikke sin i det integralet, selv om begge kan løses.
[tex]\frac{1}{1+\frac{2t}{1-t^2}} \, = \, \frac{1}{\frac{1-t^2+2t}{1-t^2}} \, = \, {\frac{1-t^2}{1-t^2+2t}}[/tex]
osv
Og det skulle egentlig ha vært cos og ikke sin i det integralet, selv om begge kan løses.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Hva skal x'en byttes ut med? Finner det ikke i Wikien.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Må jo tenke litt da =)
Substitusjon sier jo at vi sier at
t = \tan(\frac{x}{2})
Er jo det som er substitusjonen vår. Resten er jo bare at vi bruker trig-identitene til å uttrykke alle trig uttrykkene vår ved hjelp av t.
Utifra uttrykket over, klarer du sikkert å finne ut hva x. kan bli uttrykkt som. Kanskje en slem oppgave... Etter at du har forenklet og byttet ut x. Så venter det deg en frekk delvis integrasjon. Og en del opprydding.
Substitusjon sier jo at vi sier at
t = \tan(\frac{x}{2})
Er jo det som er substitusjonen vår. Resten er jo bare at vi bruker trig-identitene til å uttrykke alle trig uttrykkene vår ved hjelp av t.
Utifra uttrykket over, klarer du sikkert å finne ut hva x. kan bli uttrykkt som. Kanskje en slem oppgave... Etter at du har forenklet og byttet ut x. Så venter det deg en frekk delvis integrasjon. Og en del opprydding.
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
[tex] I = \int {\frac{x}{{1 + \cos \left( x \right)}}dx} [/tex]
[tex] t = \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)\qquad ,\qquad \frac{{du}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)\qquad ,\qquad x = 2\arctan \left( t \right)\qquad ,\qquad \cos \left( x \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} [/tex]
[tex] I = \int {\frac{{2\arctan \left( t \right)}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}\frac{2}{{1 + {t^2}}}dt} [/tex]
[tex] I = 4\int {\frac{{\arctan \left( t \right)}}{{\frac{2}{{1 + {t^2}}}\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} [/tex]
[tex] I = 2\int {\arctan \left( t \right)dt} [/tex]
[tex] I = \; \cdots [/tex]
[tex] t = \tan \left( {\frac{x}{2}} \right)\qquad ,\qquad \frac{{du}}{{dt}} = \frac{1}{2}\left( {1 + {t^2}} \right)\qquad ,\qquad x = 2\arctan \left( t \right)\qquad ,\qquad \cos \left( x \right) = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} [/tex]
[tex] I = \int {\frac{{2\arctan \left( t \right)}}{{1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}}}\frac{2}{{1 + {t^2}}}dt} [/tex]
[tex] I = 4\int {\frac{{\arctan \left( t \right)}}{{\frac{2}{{1 + {t^2}}}\left( {1 + {t^2}} \right)}}dt} [/tex]
[tex] I = 2\int {\arctan \left( t \right)dt} [/tex]
[tex] I = \; \cdots [/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ok, siden jeg aldri ever har integrert eller derivert inverse trig-funksjoner, så tyr jeg til Wolfram.
[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t)-\frac{1}{2}ln(t^2+1)+C[/tex]
Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]
[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]
(Herregud)
Er jeg på rett spor?
[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t)-\frac{1}{2}ln(t^2+1)+C[/tex]
Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]
[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]
(Herregud)
Er jeg på rett spor?
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Ser riktig ut det der Kan også forenkles litt.
For å løse integralet på slutten, så bruker vi delvis.
[tex]u=\arctan(x) , v^{\tiny\prime}=1 [/tex]
For å løse integralet på slutten, så bruker vi delvis.
[tex]u=\arctan(x) , v^{\tiny\prime}=1 [/tex]
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Ok, jeg får like gjerne svømme i land.
[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t) - \int \frac{t}{t^2+1}dt[/tex]
Ny sub:
[tex]u=t^2+1 \\ du = 2tdt[/tex]
Integranden i delvisen blir [tex]\frac{1}{2u}[/tex] men henter ut konstanten [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Hele greia igjen:
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du[/tex]
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(u)[/tex]
Vekk med u'en:
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(x^2+1)+C_1[/tex]
(Driter i absoluttverditegn av åpenbare og kvadratiske grunner)
Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]
[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]
Nå er jeg helt ør. Den eneste forenklinga jeg ser (og jeg håper den er gyldig) er at [tex]arctan(tan(\frac{x}{2})[/tex] muligens blir [tex]\frac{x}{2}[/tex] men akkurat nå er jeg ikke sikker på noe
Nå er det uansett sengetid for de som skal... ingenting, men har ferie-døgnrytme.
[tex]\int arctan(t) dt = t \cdot arctan(t) - \int \frac{t}{t^2+1}dt[/tex]
Ny sub:
[tex]u=t^2+1 \\ du = 2tdt[/tex]
Integranden i delvisen blir [tex]\frac{1}{2u}[/tex] men henter ut konstanten [tex]\frac{1}{2}[/tex]
Hele greia igjen:
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u}du[/tex]
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(u)[/tex]
Vekk med u'en:
[tex]t \cdot arctan(t) - \frac{1}{2}ln(x^2+1)+C_1[/tex]
(Driter i absoluttverditegn av åpenbare og kvadratiske grunner)
Og [tex]t=tan(\frac{x}{2})[/tex]
[tex]tan(\frac{x}{2}) \cdot arctan(tan(\frac{x}{2})) - \frac{1}{2}ln((tan(\frac{x}{2}))^2+1)+C[/tex]
Nå er jeg helt ør. Den eneste forenklinga jeg ser (og jeg håper den er gyldig) er at [tex]arctan(tan(\frac{x}{2})[/tex] muligens blir [tex]\frac{x}{2}[/tex] men akkurat nå er jeg ikke sikker på noe
Nå er det uansett sengetid for de som skal... ingenting, men har ferie-døgnrytme.