Eksponential likning!

[kauguru1]

hmm.. kan ikke fatte.. får til de andre.. men denne, av en eller annen grunn. funker ikke..

Kjapt: 8^x=2^(x+1)

takker for all hjelp

[Aleks855]

Du kan skrive om litt:

[tex]8 = 2^3[/tex]

Da står du med likningen:

[tex](2^3)^x = 2^{x+1}[/tex]

Ser du hvor dette går?

[kauguru1]

Du kan skrive om litt:

[tex]8 = 2^3[/tex]

Da står du med likningen:

[tex](2^3)^x = 2^{x+1}[/tex]

Ser du hvor dette går?

Jupp;) takk skal du ha..

Godt noen er tidlig oppe om morran

[Aleks855]

Hehe, ja jeg skulle kanskje vært i seng for [tex]2^3[/tex] timer siden selv, men det ble med tanken gitt.

[Nebuchadnezzar]

Tar vi en frekkis

[tex]8^x=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]2^{3x}=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]3x=x+1 \Rightarrow x=\frac12[/tex]

Kan vi huske på at

[tex]a^{f(x)}=b^{g(x)} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=g(x)[/tex]
så lenge [tex]a>0[/tex]

[\input{username}]

Tar vi en frekkis

[tex]8^x=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]2^{3x}=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]3x=x+1 \Rightarrow x=\frac12[/tex]

Kan vi huske på at

[tex]a^{f(x)}=b^{g(x)} \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=g(x)[/tex]
så lenge [tex]a>0[/tex]

Blir det ikke feil å ha b der? Det må vel helst være a på begge sider av likhetstegnet?

i.e: [tex]2^x=4^2\cancel{\Leftrightarrow}x=2[/tex]

[Nebuchadnezzar]

Skal selfølgelig være [tex]a[/tex] der, og så må det nevnes at [tex]a[/tex] må være en konstant =)

[Aleks855]

Tar vi en frekkis

[tex]8^x=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]2^{3x}=2^{(x+1)} [/tex]
[tex]3x=x+1 \Rightarrow x=\frac12[/tex]

Det var slik jeg løste oppgaven selv. Men det hadde naturligvis vært verre hvis det hadde vært noe annet enn 8. F. eks. 7.

[Nebuchadnezzar]

[tex]7^x=2^{(x+1)}\; \; \Leftrightarrow \; \;2^{(1.55328x)}=2^{(x+1)}[/tex]



Alle spøker til side, klarer du den litt artige likningen under?

[tex](x^2-3)^{(3x-2)} = (x^2-3)^{(2x-1)}[/tex]

[Aleks855]

Haha, jeg tenkte på det å skrive om 7 som en 2'erpotens, men det ble med tanken.

Nei, kan ikke si jeg får til den likninga di. Jeg får x=1 til å stemme, men sånt har jeg ikke vært borti før.

EDIT: Tar vel også x= [symbol:rot] 3, men det er mer hoderegning, med hensyn på konjugatsetningen. Har ikke regnet det ut.

[Quent]

Den så artig ut, ja. Prøver meg på den.

Den første løsningen er vel når begge sider blir 0, så da løser jeg
[tex]x^2-3=0[/tex]. Da får jeg [tex]sqrt3 og -sqrt3[/tex] som svar. [tex]-sqrt3[/tex] kan ikke være en løsning, siden da blir 0 opphøyd i et negativt tall på begge sider. Så bruker jeg logaritmer for å finne resten av løsningene, tenker jeg.

[tex] ln(x^2-3)^{(3x-2)} = ln(x^2-3)^{(2x-1)}[/tex]

[tex] (3x-2)ln(x^2-3) = (2x-1)ln(x^2-3)[/tex]

[tex] (x-1)ln(x^2-3) = 0[/tex]

Da blir det jo temmelig enkelt herfra. Finner så nullpunktene til begge faktorene:

[tex]x-1=0[/tex]
[tex]x=1[/tex]

og
[tex]ln(x^2-3)=0[/tex] når

[tex]x^2-3=1[/tex]
x= [symbol:plussminus] 2

Løsningene blir da at x er [tex]sqrt3[/tex], 1 og [symbol:plussminus] 2. Mulig det ble litt tungvint, men har bare hatt R1. Hadde vært artig å se en penere løsning.

Edit: Liten skriveleif.

[Nebuchadnezzar]

Helt riktig dette, tenkte bittelitt feil =)

Slik løste jeg den

[tex](x^2-3)^{(3x-2)} = (x^2-3)^{(2x-1)}[/tex]

Ved å studere likningen kan vi finne ut flere måter sidene er like på. Jeg ser tre tilfeller og ser først nærmere på den første.

[tex]1^{\text{noe}} = 1[/tex]

Så da ser vi på tilfellet [tex]x^2-3=1[/tex] og får at [tex]x=\pm 2[/tex].

Det neste vi legger merke til er at

[tex]0^{\text{noe}} = 1[/tex]

Der noe er ulikt 0. For å unngå problemer. Så da ser vi på tilfellet der

Så da ser vi på tilfellet [tex]x^2-3=0[/tex] og får at [tex]x=\sqrt{3}[/tex]. Vi ser bort ifra den negative roten, da vi ikke har lov til å dele på null.

Siste tilfellet er [tex](3x-2)=(2x-1) [/tex] som gir oss 1. Og vi ser at x=1 ikke gir oss noe deling på null eller 0^0 og altså er en gyldig løsning.

Dermed får vi at

[tex](x^2-3)^{(3x-2)} = (x^2-3)^{(2x-1)} \quad \Leftrightarrow \quad x=1 \, \vee \, x=\pm 2 \, \vee \, x=\sqrt{3}[/tex]