Skal være glad om jeg klarer 5 på denne, og den bestemmer karakteren min.
Heldagsprøve R2 12.mai 2011
Del 1
Oppgave 1
[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Deriver funksjonene
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; f(x)=\( \frac{x}{\ln(x)} \)^2 [/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; g(x)=3sin(2x)cos(2x) [/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Bestem integralene.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; \int 2cos(x)\,dx [/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; \int \frac{4x}{x^2-4}\,dx [/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 3) \; \int_0^{4} f(x)\,dx [/tex]
Der figuren nedenfor viser grafen til f.
[tex]\qquad \qquad[/tex] c) Løs likningen: [tex]sin(2x)-cos(2x)=0 \; , \; x \, \in \, \text{R} [/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] d)
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Bestem summen av rekken.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3\,-\,\frac{3}{5}\,+\,\frac{3}{5^2}\,-\,\frac{3}{5^3}\,+\,\dots[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Bestem for hvilke verdier av x rekka konvergerer.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 2\,+\,2\ln(x)\,+\,2\ln(x)^2\,+\,\dots[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Vis at likningen
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad x^2+y^2+z^2-6x+4y=23 [/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Beskriver en kuleflate.
[tex]\qquad \qquad[/tex] f) Løs differensiallikningene
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 1) \; y^{\prime}- x y = e^{\frac{x^2}{2}} \, , \; \text{der} \; y(0) \, = \, 2 [/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; 2) \; y^{\prime\prime} - 6y^{\prime} + 5y = 0 \; \text{der} \; y(0)=2 \; \text{og} \; y^{\prime}(0) = 4 [/tex]
Oppgave 2
Et plan [tex]\alpha[/tex] er gitt ved
[tex]\alpha: \, x + 4y + z - 8 = 0[/tex]
Planet skjærer x-aksen i A, y-aksen i B og z-aksen i C.
[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Finn koordinatene til A , B og C.
[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Regn ut avstanden fra punktet [tex]D(-1,2,3)[/tex] til [tex]\alpha[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Finn volumet av pyramiden ABCD.
En linje l har paramterfremstillingen gitt ved
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x=-1+2t[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y= 2+t[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad y=3-6t[/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] La T være et punkt på linja l.
[tex]\qquad \qquad[/tex] d) Regn ut volumet av pyramiden ABCT
[tex]\qquad \qquad[/tex] e) Hva betyr det geometrisk at dette volumet er uavhengig av t ?
Del 2
Oppgave 3
[tex]\qquad \qquad \; a) \, [/tex] En rekke er gitt ved [tex]S_n \, = \, 1 \, + \, 5 \, + \, 9 \, + \, \dots \, + \, 4n - 3 [/tex]
[tex]\qquad \qquad \; \; \, [/tex] Forklar at rekken er aritmetrisk, og finn et uttrykk for denne summen.
[tex]\qquad \qquad \; b) \, [/tex] Vi skal nå se på en annen rekke
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad S_n \, = \, 2 \, + \, \frac{2}{5} \, + \, \frac{2}{5} \, + \, \dots \, + \, \frac{2}{5^{n-1}}[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Finn ett uttrykk for [tex]\, S_n[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Finn ved regning hvor mange ledd vi minst må ha med for at [tex] \, S_n \, > \, 2.45[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 3) Vi lar nå antall ledd gå mot uendelig. Bestem rekkens sum dersom den finnes.
[tex]\qquad \qquad \; c) \, [/tex] Vi ser på en endelig geometrisk rekke med variabel kvotient.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad S(x) \, = \, 2 \, + \, \frac{2x}{5} \, + \, \frac{2x^2}{25} \, + \, \dots \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 1) Bestem kovergeringsomårode til rekken. Finn ett uttrykk for [tex]\, S(x)[/tex]
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad [/tex] 2) Løs likningene [tex]\;S(x) \, = \, 20[/tex] og [tex]S(x) \, = \, -10[/tex]
[tex]\qquad \qquad \; d) \, [/tex] Bevis formelen
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 1^2 \, + \, 3^2 \, + \, 5^2 \, + \, \dots \, + \, (2n-1)^2 \, = \, \frac{1}{3}n(4n^2-1)[/tex]
Oppgave 4
La f være funksjonen gitt ved
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad \; f(x) \, = \, 4x + 4sin(x) \; , \; x\in[0,2\pi> [/tex]
[tex]\qquad \qquad[/tex] a) Bestem eventuelle ekstremalpunkter eller terrassepunkter på grafen til f(x).
[tex]\qquad \qquad[/tex] b) Bestem vendepunktene til grafen til f(x)
[tex]\qquad \qquad[/tex] c) Tegn grafen til f(x). Tegn grafen til en funksjon g(x)=4x i samme koordinatsystem.
[tex]\qquad \qquad[/tex] d) Grafene til f(x) og g(x) avgrenser to arealer. Undersøk ved regning om arealene er like store.
[tex]\qquad \qquad[/tex] Figuren nedenfor viser en sirkel med radius 2. Punktene A , B og C ligger på sirkelperiferien slik at [tex]AB \,=\, AC[/tex] og vinkelen [tex]BAC \, = \, x[/tex] der [tex]0<x<\frac{\pi}{2}[/tex]
Det skaverte området på figuren er avgrenset av linjestykkene AB og AC og buen BC. Området har areal F gitt ved.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad F(x) \, = \, 4x + 4\sin(x)[/tex]
Vi ønsker at dette arealet skal være halvparten så stort som aralet av sirkelen. Bestem x.
[tex]\qquad \qquad[/tex] f) Bestem vendepunktene til grafen til f(x)
Bevis at arealet F på figuren er gitt ved
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad F(x) \, = \, 4x + 4\sin(x)[/tex]
Oppgave 5
a) [tex] \qquad [/tex] Løs differensiallikningen ved regning.
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad y^{\prime\prime} + 4y \, = \, 0[/tex]
b) [tex] \qquad [/tex] Vis at hvis y er en løsning av differensiallikningen i oppgave a, er [tex] u = y + 80 [/tex] en løsningen av differensiallikningen
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime\prime} + 4 u \, = \, 320[/tex]
c) [tex] \qquad [/tex] Forklar at likningen i oppgave b har løsningen
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u = C cos(2x) + D sin(2x) + 80 [/tex]
På ei øy er det harer og rever. Hvis antallet harer øker, blir det mer mat til revene, og antallet rever øker. Når antallet rever øker, spiser de flere harer, og antallet harer går ned. Hvis det blir for få harer, blir det lite mat til revene, og antallet rever går ned.
På et tidspunkt er det [tex]800[/tex] harer og [tex]50[/tex] rever på øya. La [tex]u(x)[/tex] være antallet rever og [tex]h(x)[/tex] antallet harer x år senere. Vekstfarten for revebestanden er gitt ved.
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime} = \frac{1}{4}h - 150 [/tex]
Vekstfarten for harebestanden er gitt ved
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad h^{\prime} = -16u + 1280 [/tex]
d) [tex] \qquad [/tex] Forklar at funksjonen u må være en løsning av differensiallikningen
[tex]\qquad \qquad \qquad \qquad u^{\prime\prime} + u \, = \, 320[/tex]
e) [tex] \qquad [/tex] Ifølge c må da funksjonen u være gitt ved.
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u(x) = C cos(2x) + D sin(2x) + 80 [/tex]
Vis at funksjonen h må være gitt ved
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad h(x) = -8 C sin(2x) + 8 D cos(2x) + 600 [/tex]
f) Vis at [tex] \; C \, = \, -30 \; [/tex] og [tex] \; D \, = \, 25 [/tex]
g) Tegn i ett koordinatsystem grafer som viser antallet rever og antallet harer de første 5 årene.
h) Omform u(x) ved regning og skriv uttrykket på formen
[tex] \qquad \qquad \qquad \qquad u(x) \, = \, a sin(kx+c) \, + \, d [/tex]
i) Finn ved regning når det er flest rever på øya i løpet av de første 5årene.
Hvor mange rever og hvor mange harer er det da?
