Lengden av en graf

[Gjest]

Hvordan kan man finne lengden av en graf, la oss si:

f(x) = (1/4)x^2

fra -6 til 6?

[Kent]

Du kan vel lage en parameterfremstilling av grafen. Bruk det til å finne en vektorfunksjon som tilsvarer grafen. Finn lengden til den deriverte av vektorfunksjonen. Integrer lengden fra det ene endepunktet til det andre.
y=(1/4)x^2
x=t
y=(1/4)t^2
r(t)=ti+(1/4)t^2j
r'(t)=i+(1/2)tj
|r'(t)|=[rot][/rot](1+(1/4)t^2)
L=[itgl][/itgl][sub]-6[/sub][sup]6[/sup][rot][/rot](1+(1/4)t^2)dt
Husker ikke formelen for et slikt integral akkurat nå og det blir litt mye arbeid å gå igjennom hele prosessen. Du kan i hvertfall benytte invers tangens substitusjon. Se her for et eksempel:
http://www.matematikk.net/ressurser/mat ... =#8377[rot][/rot]

[MacGyver]

Kan også bruke formelen:

ds = [rot][/rot](1 + f'(x)[sup]2[/sup])

som vil gi samme svar. ds står for delta s, som er lengden av en bitteliten del av grafen.. summerer vi alle slike lengder får vi buelengden. Dette gjør vi ved å integrere ds. Om du setter rett inn i formelen over ser du at du ender opp med samme integralet som Kent har vist her. Grei måte å gjøre det på om man ikke gidder parameterisere.

[Gjest]

Kan også bruke formelen:

ds = [rot][/rot](1 + f'(x)[sup]2[/sup])

som vil gi samme svar. ds står for delta s, som er lengden av en bitteliten del av grafen.

Er dette noe som man kan forstå uten å være en Gauss, eller skal jeg kanskje bare akseptere det?

[Kent]

Du trenger ikke forstå det i VGS. Jeg skal prøve å komme med en forklaring. Du får spørre hvis noe er uklart.

Du har en graf y=f(x) som representerer en bue.
Del denne buen inn i mange mindre deler. Disse delene skal være nesten uendelig små.
Velg deg et punkt P(a,b) på grafen. I P legger du til en liten x-verdi (en liten "delta" x). Den lille x-verdien kalles dx.
I punktet P legger du også til en liten y-verdi (dy). Nå befinner du deg i et nytt punkt (c,d) på grafen. Avstanden fra P til det punktet du befinner deg i nå langs grafen er en liten strekning ds.
Har nå punktene P(a,b), Q(c,d) og R(c,b). PQR kan ansees som en trekant ettersom ds, dy og dx er nesten uendelig små. Dette fordi grafen ligner mer og mer på en rett linje ettersom vi zoomer inn.
Bruker nå pytagoras:
ds[sup]2[/sup]=dx[sup]2[/sup]+dy[sup]2[/sup]=(1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]=(1+(y')[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]=(1+(f'(x))[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]
Tar kvadratroten og får
ds=[rot][/rot](1+f'(x)[sup]2[/sup])dx
Nå gjenstår det bare å summere alle linjestykkene ds. Det gjøres ved integrasjon. (Det bestemte integralet kan anses som en sum)
Integrerer ds mellom de ønskede endepunktene på grafen og får det nevnte integralet.

[Gjest]

Takk for godt svar, Kent. Var mye som falt på plass nå.

Altså: En bitteliten del av kurven er gitt ved: [rot][/rot] (dx)[sup]2[/sup] + (dy)[sup]2[/sup]. Den er faktisk grei. Hva skal man gjort uten Pytagoras, den jævelen. Når man så integrerer dette uttrykket, så summerer man alle disse hypotenusene og får den presise lengden fra a til b på. Men hvordan kommer man herfra til uttrykket:

b
[itgl][/itgl] [rot][/rot] 1 + (dy/dx)[sup]2[/sup]dx
a

Jeg regner med at det er noe slags algebra-black-magic, men hadde vært greit å ha sett. Jeg er litt treig...

[mathvrak]

Hei Gjest.

Kent har vist det her:

...Bruker nå pytagoras:
ds[sup]2[/sup]=dx[sup]2[/sup]+dy[sup]2[/sup]=(1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]=(1+(y')[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]=(1+(f'(x))[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]
Tar kvadratroten og får
ds=[rot][/rot](1+f'(x)[sup]2[/sup])dx
Nå gjenstår det bare å summere alle linjestykkene ds. Det gjøres ved integrasjon. (Det bestemte integralet kan anses som en sum)...

men du lurer på hvorfor det står dy/dx ? Det er fordi f'(x) er en omskriving av dy/dx, eller (d/dx)*y (derivert av y, med hensyn på x)

En kan også løse oppgaven med dx/dy isteden for dy/dx hvis det er lettere, slik det står i integralet du nevnte. Det er lite blackmagic i matte

[Gjest]

Det er faktisk herfra: "dx[sup]2[/sup]+dy[sup]2[/sup]" til: "(1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]" jeg har litt problemer. Fra:

ds[sup]2[/sup]=dx[sup]2[/sup]+dy[sup]2[/sup]=(1+(dy/dx)[sup]2[/sup])dx[sup]2[/sup]

[Kent]

Jeg har bare satt dx[sup]2[/sup] utenfor en parantes.
a+b=(1+b/a)a
Jeg deler altså a+b med a
a/a=1 og b/a=b/a
og setter a utenfor.
Hvis du forsøker å gange inn dx[sup]2[/sup] vil du se at det står akkurat det samme.

[Gjest]

Da er jeg med. Grunnen til denne algebra-knotingen er å få et uttrykk som lettere å integrere og arbeide med?

[Sindre]

Litt merkelig at "dx"en blir med liksom. Den pleier man vel bare å skrive til.

[Kent]

Man må få uttrykket på den formen for at man overhodet skal kunne integrere det. Grunnen til dette er at dx ikke bare er noe man legger til. Det bestemte integralet (Riemannintegralet, vet ikke hvordan det er med de andre) kan man forenklet si er definert ved hjelp av summer. (Integralet er forenklet definert til å ligge mellom øvre og nedre Riemannsum) Hvis du tenker deg at du skal finne arealet under en graf uten å integrere funksjonen. For å gjøre dette tegner du inn noen rektangler. La rektanglene være like brede (bredden på rektanglene er "delta" x) og høyden går fra x-aksen og opp til grafen. Høyden er da gitt som f(x). (Høyden på grafen er i hvert punkt f(x)). Da er arealet til hvert rektangel gitt som f(x)"delta"x. Nå lar vi bredden på rektanglene gå mot null. Når "delta" x blir liten kalles den dx. Da blir arealet til hvert rektangel f(x)dx. Summen av alle de rektanglene blir arealet under grafen. Den summen er definert med tegnet [itgl][/itgl]. For å summere alle arealene legger vi altså til [itgl][/itgl] i stykket, i stedet for [sigma][/sigma] fra noe til noe annet når "delta" x går mot 0 og dermed regner dette ut som en sum (noe som kan være svært vanskelig/umulig med analytiske metoder). Integralet har den fordelen at det er antiderivering. Uten dx summerer vi altså ikke noe areal.
Denne linken har en applet som interaktivt demonstrerer hva det bestemte integralet er:
http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/ ... Sums.shtml