Jeg sliter litt med et bevis her, boken min bare nevner det som en "excersise left for the reader".
Vis at du kan konvertere et tall fra decimal (base 10) til base N ved å benytte resten ved gjentatte divisjoner.
Eksempel:
144 (decimal) konverteres til base 7 slik:
144 : 7 = 20, r = 4
20 : 7 = 2, r = 6
2 : 7 = 0, r = 2
144 (decimal) = 264 (septimal? base 7 iallefall :)
Som en test: 2 * 7^2 + 6 * 7 + 4 * 7^0 = 98 + 42 + 4 = 144 (decimal).
Så, metoden er fin den, men hvordan i svingende beviser jeg dette?
k
Tallteori, (vanskelig?) bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Et tall i base 10 er på formen [tex]a_0+a_110+a_210^2+...+a_n10^n[/tex], der [tex]a_1,a_2,...,a_n [/tex]er mellom 0 og 10. F.eks:
[tex]123 = 1+2 \cdot 10+3 \cdot 10^2[/tex]
La oss si du har et helt tall N, og skal finne tallet i base b.
Da ønsker du å få
[tex]N = a_0+a_1b+a_2b^2+a_3b^3 + ... + a_nb^n[/tex] for et tall n, og [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] mellom 0 og b-1.
F.eks, hvis man skal finne 5 i base 3, setter man
[tex]5=a_0+a_13+a_23^2+...+a_n3^n.[/tex]
Dvs
[tex]5-a_0=a_13+a_23^2+...+a_n3^n[/tex]
Her er høyre side delelig på 3, så venstre side må også være det. Den eneste muligheten er [tex]a_0 = 2[/tex]. Vi hadde fått samme resultat om vi hadde delt på 3, dvs [tex]5/3 = a_0/3 + a_2 + a_33+...+a_n3^{n-1}[/tex]. Da måtte [tex]a_0/3[/tex] vært lik desimaldelen til 5/3, dvs at [tex]a_0[/tex] er resten av 5 delt på 3.
Nå har vi [tex]3=a_13 +a_23^2+...+a_n3^n[/tex]. Vi deler på 3, og får
[tex]1 = a_1+a_23+...+a_n3^{n-1}[/tex] og fortsetter som i stad. Da er [tex]a_1 =1[/tex] og vi er ferdige.
[tex]a_0 = 2, a_1 = 1[/tex], og resten er 0.
[tex]5=(21)_3[/tex].
For å bevise dette går du gjennom hvert trinn for en generell base b. Begrunn at N må være på den formen, og begrunn at metoden gir unike koeffisienter, og at metoden til slutt vil stoppe.
[tex]123 = 1+2 \cdot 10+3 \cdot 10^2[/tex]
La oss si du har et helt tall N, og skal finne tallet i base b.
Da ønsker du å få
[tex]N = a_0+a_1b+a_2b^2+a_3b^3 + ... + a_nb^n[/tex] for et tall n, og [tex]a_1,a_2,...,a_n[/tex] mellom 0 og b-1.
F.eks, hvis man skal finne 5 i base 3, setter man
[tex]5=a_0+a_13+a_23^2+...+a_n3^n.[/tex]
Dvs
[tex]5-a_0=a_13+a_23^2+...+a_n3^n[/tex]
Her er høyre side delelig på 3, så venstre side må også være det. Den eneste muligheten er [tex]a_0 = 2[/tex]. Vi hadde fått samme resultat om vi hadde delt på 3, dvs [tex]5/3 = a_0/3 + a_2 + a_33+...+a_n3^{n-1}[/tex]. Da måtte [tex]a_0/3[/tex] vært lik desimaldelen til 5/3, dvs at [tex]a_0[/tex] er resten av 5 delt på 3.
Nå har vi [tex]3=a_13 +a_23^2+...+a_n3^n[/tex]. Vi deler på 3, og får
[tex]1 = a_1+a_23+...+a_n3^{n-1}[/tex] og fortsetter som i stad. Da er [tex]a_1 =1[/tex] og vi er ferdige.
[tex]a_0 = 2, a_1 = 1[/tex], og resten er 0.
[tex]5=(21)_3[/tex].
For å bevise dette går du gjennom hvert trinn for en generell base b. Begrunn at N må være på den formen, og begrunn at metoden gir unike koeffisienter, og at metoden til slutt vil stoppe.
Du mener [tex]5=(12)_3[/tex], men ellers så jo det der veldig fornuftig ut.Charlatan skrev: [tex]5=(21)_3[/tex].
For å bevise dette går du gjennom hvert trinn for en generell base b. Begrunn at N må være på den formen, og begrunn at metoden gir unike koeffisienter, og at metoden til slutt vil stoppe.
Takker for en meget utfyldende og god forklaring!
k