Hei
[tex] \ \int \frac{1}{cosx} dx [/tex]
Har lurt på løysinga av dette integralet ei tid. Har prøvd ulike metodar, men finn ikkje fram til det rette svaret ... Set stor pris på om nokre kunne gje nokre tips, takk
Integral
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
hint)96xy skrev:Hei
[tex] \ \int \frac{1}{cosx} dx [/tex]
Har lurt på løysinga av dette integralet ei tid. Har prøvd ulike metodar,men finn ikkje fram til det rette svaret ... Set stor pris på om nokre kunne gje nokre tips, takk
multipliser oppe og nede med cos(x), omform nevner'n og bruk så substitusjon...
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Her er WolframAlpha sin løsning:
[tex]\int \frac{1}{\cos (x)} \rm{d}x = \int \sec (x) \rm{d}x[/tex]
Benytter oss av at integralet av sec(x) er log(tan(x)+sec(x)):
[tex]= \log\left(\tan (x) + \sec (x)\right) + \rm{C}[/tex]
"Which is equivalent for restricted x-values to:"
[tex]= \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) - \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) + \rm{C}[/tex]
Vet ikke om du får noe utav det, jeg. De bruker jo bare en enkelt regel for å løse det, på samme måte som man bruker at [tex]\int \cos (x) \rm{d}x = \sin (x)+\rm{C}[/tex]. Hvordan stegene til å løse dette er, vet jeg ikke.
[tex]\int \frac{1}{\cos (x)} \rm{d}x = \int \sec (x) \rm{d}x[/tex]
Benytter oss av at integralet av sec(x) er log(tan(x)+sec(x)):
[tex]= \log\left(\tan (x) + \sec (x)\right) + \rm{C}[/tex]
"Which is equivalent for restricted x-values to:"
[tex]= \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) - \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) + \rm{C}[/tex]
Vet ikke om du får noe utav det, jeg. De bruker jo bare en enkelt regel for å løse det, på samme måte som man bruker at [tex]\int \cos (x) \rm{d}x = \sin (x)+\rm{C}[/tex]. Hvordan stegene til å løse dette er, vet jeg ikke.
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Janhaa, har kommet til omformingen av uttrykket og mener jeg har fått dette til. Hvilken substitusjon mener du at man skal bruke ? Først faktoriserer man ut to, men etter det aner jeg ikke...
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
Jeg antar han mener:
[tex]I \ = \ \int \frac{\cos (x)}{1-\sin ^2 (x)} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=\sin (x) \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos (x) \rm{d}x[/tex]
[tex]I \ = \ \int \frac{1}{1-u^2}\rm{d}u = \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]
Og så delbrøkoppspalting herfra?
[tex]I \ = \ \int \frac{\cos (x)}{1-\sin ^2 (x)} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=\sin (x) \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos (x) \rm{d}x[/tex]
[tex]I \ = \ \int \frac{1}{1-u^2}\rm{d}u = \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]
Og så delbrøkoppspalting herfra?
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Slik har de fleste gjort det, syntes nesten denne måten er like dum...
[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx \Leftrightarrow \int {\sec \left( x \right)} } dx [/tex]
[tex] \int {\sec \left( x \right)} \cdot \left( {\frac{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} \right)dx = \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} dx[/tex]
[tex] u = \sec \left( x \right) + \tan \left( x \right){\rm{ }}u^{\tiny\prime} = \sec \left( x \right)\tan \left( x \right) + \sec ^2 \left( x \right)dx = \sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)dx [/tex]
[tex] \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{u}\frac{{du}}{{\sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)}}} [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{u}du} [/tex]
[tex] \ln \left| u \right| + C [/tex]
[tex] \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C[/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx} = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C [/tex]
Takk Realist, nå gikk den opp =)
[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx \Leftrightarrow \int {\sec \left( x \right)} } dx [/tex]
[tex] \int {\sec \left( x \right)} \cdot \left( {\frac{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} \right)dx = \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} dx[/tex]
[tex] u = \sec \left( x \right) + \tan \left( x \right){\rm{ }}u^{\tiny\prime} = \sec \left( x \right)\tan \left( x \right) + \sec ^2 \left( x \right)dx = \sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)dx [/tex]
[tex] \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{u}\frac{{du}}{{\sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)}}} [/tex]
[tex] \int {\frac{1}{u}du} [/tex]
[tex] \ln \left| u \right| + C [/tex]
[tex] \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C[/tex]
[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx} = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C [/tex]
Takk Realist, nå gikk den opp =)
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
-
- Fibonacci
- Innlegg: 5648
- Registrert: 24/05-2009 14:16
- Sted: NTNU
Hvilken annen løsningsmetode? Her er det tre forskjellige måter å løse oppgaven på...
Janhaa sin, den jeg fant og Realist1 sin (Wolfram).
Janhaa sin, den jeg fant og Realist1 sin (Wolfram).
"Å vite hva man ikke vet er og en slags allvitenhet" - Piet Hein
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
https://s.ntnu.no/Integralkokeboken
Lektor - Matematikk, Fysikk og Informatikk
[tex]\sec(x)={1\over \cos(x)}[/tex]96xy skrev:Eg er ikkje heilt med på din og Wolffram A sin på grunn av dette med
[tex] \ \int sec(x)dx [/tex] ,kva betyr eigentleg dette ?
[tex]\csc(x)={1\over \sin(x)}[/tex]
[tex]\cot(x)={1\over \tan(x)}[/tex]
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
ja korrekt, det integralet dukka opp på min eksamen i matematikk 1 på ingeniørhøyskolen for lenge sia...Realist1 skrev:Jeg antar han mener:
[tex]I \ = \ \int \frac{\cos (x)}{1-\sin ^2 (x)} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=\sin (x) \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos (x) \rm{d}x[/tex]
[tex]I \ = \ \int \frac{1}{1-u^2}\rm{d}u = \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]
Og så delbrøkoppspalting herfra?
La verken mennesker eller hendelser ta livsmotet fra deg.
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
Marie Curie, kjemiker og fysiker.
[tex]\large\dot \rho = -\frac{i}{\hbar}[H,\rho][/tex]
"Derivasjon er stort sett veldig lett, men integrasjon kan bli ***** vanskelig"ettam skrev:"Derivasjon er et håndtverk, integrasjon er en kunst." - Viggo Brun (norsk matematiker).
- Markonan
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu
Det er litt mer enn det. Det er en helt egen trigonometrisk identitet, den bare brukes ikke like mye som sinus, cosinus og tangens. I hvert fall ikke i grunnleggende matematikk.
An ant on the move does more than a dozing ox.
Lao Tzu
Lao Tzu