Integral

[96xy]

Hei

[tex] \ \int \frac{1}{cosx} dx [/tex]

Har lurt på løysinga av dette integralet ei tid. Har prøvd ulike metodar, men finn ikkje fram til det rette svaret ... Set stor pris på om nokre kunne gje nokre tips, takk

[Janhaa]

Hei
[tex] \ \int \frac{1}{cosx} dx [/tex]
Har lurt på løysinga av dette integralet ei tid. Har prøvd ulike metodar,men finn ikkje fram til det rette svaret ... Set stor pris på om nokre kunne gje nokre tips, takk

hint)
multipliser oppe og nede med cos(x), omform nevner'n og bruk så substitusjon...

[Realist1]

Her er WolframAlpha sin løsning:

[tex]\int \frac{1}{\cos (x)} \rm{d}x = \int \sec (x) \rm{d}x[/tex]
Benytter oss av at integralet av sec(x) er log(tan(x)+sec(x)):

[tex]= \log\left(\tan (x) + \sec (x)\right) + \rm{C}[/tex]

"Which is equivalent for restricted x-values to:"
[tex]= \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) + \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) - \log\left(\sin \left(\frac{x}{2}\right) - \cos \left(\frac{x}{2}\right)\right) + \rm{C}[/tex]

Vet ikke om du får noe utav det, jeg. De bruker jo bare en enkelt regel for å løse det, på samme måte som man bruker at [tex]\int \cos (x) \rm{d}x = \sin (x)+\rm{C}[/tex]. Hvordan stegene til å løse dette er, vet jeg ikke.

[Nebuchadnezzar]

Janhaa, har kommet til omformingen av uttrykket og mener jeg har fått dette til. Hvilken substitusjon mener du at man skal bruke ? Først faktoriserer man ut to, men etter det aner jeg ikke...

[Realist1]

Jeg antar han mener:

[tex]I \ = \ \int \frac{\cos (x)}{1-\sin ^2 (x)} \rm{d}x[/tex]

[tex]u=\sin (x) \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos (x) \rm{d}x[/tex]

[tex]I \ = \ \int \frac{1}{1-u^2}\rm{d}u = \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]

Og så delbrøkoppspalting herfra?

[Nebuchadnezzar]

Slik har de fleste gjort det, syntes nesten denne måten er like dum...

[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx \Leftrightarrow \int {\sec \left( x \right)} } dx [/tex]

[tex] \int {\sec \left( x \right)} \cdot \left( {\frac{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} \right)dx = \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{{\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)}}} dx[/tex]

[tex] u = \sec \left( x \right) + \tan \left( x \right){\rm{ }}u^{\tiny\prime} = \sec \left( x \right)\tan \left( x \right) + \sec ^2 \left( x \right)dx = \sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)dx [/tex]

[tex] \int {\frac{{\sec \left( x \right)\left( {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right)}}{u}\frac{{du}}{{\sec \left( x \right)\left( {\tan \left( x \right) + \sec \left( x \right)} \right)}}} [/tex]

[tex] \int {\frac{1}{u}du} [/tex]

[tex] \ln \left| u \right| + C [/tex]

[tex] \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C[/tex]

[tex] \int {\frac{1}{{\cos \left( x \right)}}dx} = \ln \left| {\sec \left( x \right) + \tan \left( x \right)} \right| + C [/tex]

Takk Realist, nå gikk den opp =)

[96xy]

Hei

tusen takk for respons =) Eg veit ikkje om eg forsto alt i løysinga til wolffram A, men eg forsto det andre. Var utruleg snedig å koma på den løysingsmetoden.

Tusen takk for all hjelp

[ettam]

"Derivasjon er et håndtverk, integrasjon er en kunst." - Viggo Brun (norsk matematiker).

[Nebuchadnezzar]

Hvilken annen løsningsmetode? Her er det tre forskjellige måter å løse oppgaven på...

Janhaa sin, den jeg fant og Realist1 sin (Wolfram).

[96xy]

Eg er ikkje heilt med på din og Wolffram A sin på grunn av dette med
[tex] \ \int sec(x)dx [/tex] ,kva betyr eigentleg dette ?

[Janhaa]

Eg er ikkje heilt med på din og Wolffram A sin på grunn av dette med
[tex] \ \int sec(x)dx [/tex] ,kva betyr eigentleg dette ?

[tex]\sec(x)={1\over \cos(x)}[/tex]

[tex]\csc(x)={1\over \sin(x)}[/tex]

[tex]\cot(x)={1\over \tan(x)}[/tex]

[Janhaa]

Jeg antar han mener:
[tex]I \ = \ \int \frac{\cos (x)}{1-\sin ^2 (x)} \rm{d}x[/tex]
[tex]u=\sin (x) \ \Rightarrow \ \rm{d}u = \cos (x) \rm{d}x[/tex]
[tex]I \ = \ \int \frac{1}{1-u^2}\rm{d}u = \int \frac{1}{(1+u)(1-u)} \rm{d}u[/tex]
Og så delbrøkoppspalting herfra?

ja korrekt, det integralet dukka opp på min eksamen i matematikk 1 på ingeniørhøyskolen for lenge sia...

[Markonan]

"Derivasjon er et håndtverk, integrasjon er en kunst." - Viggo Brun (norsk matematiker).

"Derivasjon er stort sett veldig lett, men integrasjon kan bli ***** vanskelig"
- Markonan

[96xy]

Å ja, så dette med sec(x) er rett og slett ein regel som vert nytta som verktøy for å løysa oppgåva. Då vart det litt meir forståeleg, har aldri vore borti den regelen før..

[Markonan]

Det er litt mer enn det. Det er en helt egen trigonometrisk identitet, den bare brukes ikke like mye som sinus, cosinus og tangens. I hvert fall ikke i grunnleggende matematikk.