R2 eksamen 26.05.10
Lagt inn: 29/05-2010 01:46
Oppgave 1
a) Deriver funksjonen gitt ved [tex]f(x)=x^2\cdot cos(3x)[/tex]
b) Bestem integralene
1) [tex]\int 5x\cdot e^{2x}dx[/tex]
2) [tex]\int\frac{6x}{x^2-1}dx[/tex]
c) Løs differensialligningen [tex]y^\prime-2y=3\;[/tex] når [tex]\;y(0)=2[/tex]
d)
1) Bruk formlene [tex]\;cos(u\pm v)=cosu\cdot cosv\mp sin u\cdot sin v[/tex]
til å vise [tex]\;cos u\cdot cos v=\frac12(cos(u-v)+cos(u+v))[/tex]
2) Bruk 1) til å finne et uttrykk for [tex]cos^2x[/tex]. Bestem integralet [tex]\;\int cos^2x dx[/tex]
e) I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen [tex]\int^b_aF^\prime(x)dx=F(b)-F(a)[/tex]
Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f, g og h.
Det opplyses i tillegg at [tex]f(x)=g^\prime(x)\;[/tex] og [tex]\;h(x)=g^{\prime\prime}(x)[/tex]
Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene
1) [tex]\int^2_{-3}f(x)dx[/tex]
2) [tex]\int^1_{-3}h(x)dx[/tex]
Oppgave 2
Vi har gitt punktene A(3,0,-2), B(0,2,0) og C(1,-1,4)
a) Bestem [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]
b) Finn en ligning for planet [tex]\alpha[/tex] som går gjennom punktene A, B og C.
En rett linje l går gjennom punktet P(5,4,4) og står vinkelrett på planet [tex]\alpha[/tex].
c) Vis at en parameterframstilling for l er [tex]l:\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\y=4+2t\\z=4+t\\\end{array}\right[/tex]
Finn skjæringspunktet mellom l og xz-planet.
Vi lar Q være et vilkårlig punkt på linjen l.
d) Bestem volumet av pyramiden ABCQ uttrykt ved t.
e) Bestem koordinatene til Q slik at volumet av pyramiden ABCQ blir 42
Oppgave 3
Du skal studere løsningen til differensialligningen [tex]\;y^{\prime\prime}+\frac25y^\prime+\frac{26}{25}y=0[/tex]
a) Bruk løsningen til den karakteristiske ligningen til å vise at den generelle løsningen til differensialligningen er
[tex]y=e^{-0.2x}\cdot(Csin x+Dcos x)[/tex], der C og D er konstanter.
b) Du får oppgitt at [tex]y(0)=5[/tex] og [tex]y(\frac{3\pi}4)=0[/tex]. Forklar at løsningen av differensialligningen da kan skrives
[tex]y=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x)[/tex]
(Du kan få bruk for at [tex]sin(\frac{3\pi}4)=\frac{\sqrt2}2\;[/tex] og [tex]\;cos(\frac{3\pi}4)=-\frac{\sqrt2}2[/tex])
Oppgave 4
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x), \;x\in\langle0,15\rangle[/tex]
a) Tegn grafen til f.
b) Bestem ved regning nullpunktene til f.
c) Vis ved regning at [tex]f^\prime(x)=2e^{-0.2x}\cdot(2cos x-3sin x)[/tex]
d) Tegn fortegnslinjen til f'(x). Bruk denne til å vise at funksjonsverdien til toppunktene er 6.164, 1.754 og 0.499.
e) Skriv f(x) på formen [tex]f(x)=Ae^{-0.2x}\cdot sin(x+\phi)[/tex], der A og [tex]\phi[/tex] er konstanter.
Funksjonene p og q er gitt ved [tex]p(x)=Ae^{-0.2x}[/tex] og [tex]q(x)=-Ae^{-0.2x}[/tex], der A er konstanten du fant i punkt e) over.
f) Forklar at [tex]q(x)\leq f(x)\leq p(x)[/tex]. Tegn grafene til p og q i samme koordinatsystem som grafen til f.
Oppgave 5
Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen [tex]f(x)=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x)[/tex] når definisjonsmengden er [tex]\langle0,\to\rangle[/tex].
a) Forklar at det n-te nullpunktet til f kan skrives på formen [tex]x_n=2.356+(n-1)\pi[/tex], der [tex]n\geq1[/tex]
b) Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvis [tex]x\in\langle0,30\rangle[/tex]?
c) De tre første funksjonsverdiene til toppunktene på grafen til f er gitt i oppgave 4 d). Alle disse danner også en tallfølge. Vis at denne tallfølgen er geometrisk, og finn det femte leddet i tallfølgen.
Vi summerer y-koordinatene til alle toppunktene til høyre for origo.
d) Vil den rekken vi får, konvergere når [tex]x\to\infty[/tex]? Finn eventuelt summen av den uendelige rekken.
Oppgave 6
Alternativ I
Et lodd med masse m er festet i en fjær som er festet i veggen. Når loddet er i ro, er det i likevektsstilling.
Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake.
Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet t er gitt ved y(t).
Tida t er målt i sekunder, og y(t) er målt i desimeter.
I horisontal retning virker to krefter på loddet:
* En kraft fra fjæra som er proporsjonal med y(t)
* En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten v(t)=y'(t)
Akselerasjonen til klossen er a(t)=v'(t)
Vi setter y(t)=y, v(t)=v og a(t)=a.
Newtons 2. lov vil da gi følgende ligning [tex]-b\cdot v-k\cdot y=m\cdot a[/tex]
der b, k og m er positive konstanter.
a) Vis at denne ligningen kan omformes til [tex]y^{\prime\prime}+\frac{b}{m}y^\prime+\frac{k}{m}y=0[/tex]
Vi setter b=1.0 Ns/m, k= 2.6 N/m og m=2.5 kg.
b) Vis at du får differensialligningen [tex]y^{\prime\prime}+\frac25y^\prime+\frac{25}{26}y=0[/tex]
Bestem et uttrykk for y(t) når du får oppgitt at y(0)=5 og [tex]y(\frac{3\pi}4)=0[/tex].
c) Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.
d) Vis at det maksimale utslaget y på samme side av likevektsstillingen minker med 71.5% fra ett utslag til det neste.
Alternativ II
Summen av de n første leddene i en rekke er gitt ved [tex]S_n=\sum^n_{k=1}k=1+2+3+4+...+n[/tex]
a) Forklar at [tex]S_n=\frac{n(n+1)}2[/tex]. Finn [tex]S_8[/tex].
Summen av de n første leddene i en annen rekke er gitt ved [tex]s_n=\sum^n_{k=1}k^3=1+8+27+...+n^3[/tex]
b) Bruk digitalt verktøy til å undersøke hvor mange ledd rekken må ha for at summen av rekken skal være større enn 15 000.
Det er blitt påstått at [tex]1+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4[/tex]
c) Bevis formelen over ved induksjon.
d) Forklar at [tex]1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2[/tex]
Så er det bare å kjøre på med å løse oppgaver for den som skulle ønske det.
a) Deriver funksjonen gitt ved [tex]f(x)=x^2\cdot cos(3x)[/tex]
b) Bestem integralene
1) [tex]\int 5x\cdot e^{2x}dx[/tex]
2) [tex]\int\frac{6x}{x^2-1}dx[/tex]
c) Løs differensialligningen [tex]y^\prime-2y=3\;[/tex] når [tex]\;y(0)=2[/tex]
d)
1) Bruk formlene [tex]\;cos(u\pm v)=cosu\cdot cosv\mp sin u\cdot sin v[/tex]
til å vise [tex]\;cos u\cdot cos v=\frac12(cos(u-v)+cos(u+v))[/tex]
2) Bruk 1) til å finne et uttrykk for [tex]cos^2x[/tex]. Bestem integralet [tex]\;\int cos^2x dx[/tex]
e) I denne oppgaven får du bruk for den generelle sammenhengen [tex]\int^b_aF^\prime(x)dx=F(b)-F(a)[/tex]
Tabellen nedenfor viser noen funksjonsverdier for funksjonene f, g og h.
Kode: Velg alt
x f(x) g(x) h(x)
-3 0 6 6
1 -2 -7/2 -4
2 24 28 22Bruk tabellen og tilleggsopplysningene til å finne integralene
1) [tex]\int^2_{-3}f(x)dx[/tex]
2) [tex]\int^1_{-3}h(x)dx[/tex]
Oppgave 2
Vi har gitt punktene A(3,0,-2), B(0,2,0) og C(1,-1,4)
a) Bestem [tex]\vec{AB}\times\vec{AC}[/tex]
b) Finn en ligning for planet [tex]\alpha[/tex] som går gjennom punktene A, B og C.
En rett linje l går gjennom punktet P(5,4,4) og står vinkelrett på planet [tex]\alpha[/tex].
c) Vis at en parameterframstilling for l er [tex]l:\left\{\begin{array}{l}x=5+2t\\y=4+2t\\z=4+t\\\end{array}\right[/tex]
Finn skjæringspunktet mellom l og xz-planet.
Vi lar Q være et vilkårlig punkt på linjen l.
d) Bestem volumet av pyramiden ABCQ uttrykt ved t.
e) Bestem koordinatene til Q slik at volumet av pyramiden ABCQ blir 42
Oppgave 3
Du skal studere løsningen til differensialligningen [tex]\;y^{\prime\prime}+\frac25y^\prime+\frac{26}{25}y=0[/tex]
a) Bruk løsningen til den karakteristiske ligningen til å vise at den generelle løsningen til differensialligningen er
[tex]y=e^{-0.2x}\cdot(Csin x+Dcos x)[/tex], der C og D er konstanter.
b) Du får oppgitt at [tex]y(0)=5[/tex] og [tex]y(\frac{3\pi}4)=0[/tex]. Forklar at løsningen av differensialligningen da kan skrives
[tex]y=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x)[/tex]
(Du kan få bruk for at [tex]sin(\frac{3\pi}4)=\frac{\sqrt2}2\;[/tex] og [tex]\;cos(\frac{3\pi}4)=-\frac{\sqrt2}2[/tex])
Oppgave 4
Funksjonen f er gitt ved [tex]f(x)=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x), \;x\in\langle0,15\rangle[/tex]
a) Tegn grafen til f.
b) Bestem ved regning nullpunktene til f.
c) Vis ved regning at [tex]f^\prime(x)=2e^{-0.2x}\cdot(2cos x-3sin x)[/tex]
d) Tegn fortegnslinjen til f'(x). Bruk denne til å vise at funksjonsverdien til toppunktene er 6.164, 1.754 og 0.499.
e) Skriv f(x) på formen [tex]f(x)=Ae^{-0.2x}\cdot sin(x+\phi)[/tex], der A og [tex]\phi[/tex] er konstanter.
Funksjonene p og q er gitt ved [tex]p(x)=Ae^{-0.2x}[/tex] og [tex]q(x)=-Ae^{-0.2x}[/tex], der A er konstanten du fant i punkt e) over.
f) Forklar at [tex]q(x)\leq f(x)\leq p(x)[/tex]. Tegn grafene til p og q i samme koordinatsystem som grafen til f.
Oppgave 5
Vi vil studere flere egenskaper ved funksjonen [tex]f(x)=5e^{-0.2x}\cdot(sin x+cos x)[/tex] når definisjonsmengden er [tex]\langle0,\to\rangle[/tex].
a) Forklar at det n-te nullpunktet til f kan skrives på formen [tex]x_n=2.356+(n-1)\pi[/tex], der [tex]n\geq1[/tex]
b) Hva slags tallfølge danner nullpunktene? Hvor mange nullpunkter får vi hvis [tex]x\in\langle0,30\rangle[/tex]?
c) De tre første funksjonsverdiene til toppunktene på grafen til f er gitt i oppgave 4 d). Alle disse danner også en tallfølge. Vis at denne tallfølgen er geometrisk, og finn det femte leddet i tallfølgen.
Vi summerer y-koordinatene til alle toppunktene til høyre for origo.
d) Vil den rekken vi får, konvergere når [tex]x\to\infty[/tex]? Finn eventuelt summen av den uendelige rekken.
Oppgave 6
Alternativ I
Et lodd med masse m er festet i en fjær som er festet i veggen. Når loddet er i ro, er det i likevektsstilling.
Vi trekker loddet ut fra likevektsstillingen, gir det et puff bort fra likevektsstillingen, og setter dermed i gang en svingebevegelse fram og tilbake.
Avstanden fra likevektsstillingen til loddet ved tidspunktet t er gitt ved y(t).
Tida t er målt i sekunder, og y(t) er målt i desimeter.
I horisontal retning virker to krefter på loddet:
* En kraft fra fjæra som er proporsjonal med y(t)
* En friksjonskraft fra underlaget som er proporsjonal med farten v(t)=y'(t)
Akselerasjonen til klossen er a(t)=v'(t)
Vi setter y(t)=y, v(t)=v og a(t)=a.
Newtons 2. lov vil da gi følgende ligning [tex]-b\cdot v-k\cdot y=m\cdot a[/tex]
der b, k og m er positive konstanter.
a) Vis at denne ligningen kan omformes til [tex]y^{\prime\prime}+\frac{b}{m}y^\prime+\frac{k}{m}y=0[/tex]
Vi setter b=1.0 Ns/m, k= 2.6 N/m og m=2.5 kg.
b) Vis at du får differensialligningen [tex]y^{\prime\prime}+\frac25y^\prime+\frac{25}{26}y=0[/tex]
Bestem et uttrykk for y(t) når du får oppgitt at y(0)=5 og [tex]y(\frac{3\pi}4)=0[/tex].
c) Forklar at det går like lang tid mellom hver gang loddet passerer likevektsstillingen.
d) Vis at det maksimale utslaget y på samme side av likevektsstillingen minker med 71.5% fra ett utslag til det neste.
Alternativ II
Summen av de n første leddene i en rekke er gitt ved [tex]S_n=\sum^n_{k=1}k=1+2+3+4+...+n[/tex]
a) Forklar at [tex]S_n=\frac{n(n+1)}2[/tex]. Finn [tex]S_8[/tex].
Summen av de n første leddene i en annen rekke er gitt ved [tex]s_n=\sum^n_{k=1}k^3=1+8+27+...+n^3[/tex]
b) Bruk digitalt verktøy til å undersøke hvor mange ledd rekken må ha for at summen av rekken skal være større enn 15 000.
Det er blitt påstått at [tex]1+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}4[/tex]
c) Bevis formelen over ved induksjon.
d) Forklar at [tex]1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2[/tex]
Så er det bare å kjøre på med å løse oppgaver for den som skulle ønske det.
