Trigonomentri!

Her kan du stille spørsmål vedrørende problemer og oppgaver i matematikk for videregående skole og oppover på høyskolenivå. Alle som føler trangen er velkommen til å svare.

Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga

Svar
longfellow
Cayley
Cayley
Innlegg: 68
Registrert: 22/11-2004 21:28

På toppen av et høydedrag er det plassert ei antennemast for TV og radio som illustrert på figuren. Masta er 40 m høy. Vi står i punkt P på slettelandet nedenfor og skal finne høyden BQ til toppen av høydedraget. Vi måler vinklene BPQ og APQ med en spesiell kikkert og finner at de er henholdsvis 11,7º og 12,6º. Vi setter BQ = h.
Bilde

Vis at (tan12,6°/tan11,7°) = (h+40/ h)

Jeg greier ikke å se dette for meg, noen som kan hjelpe meg?
Realist1
Euclid
Euclid
Innlegg: 1993
Registrert: 30/01-2007 20:39

Tangens til en vinkel er motstående katet delt på hosliggende kate, ikke sant?
[tex]\tan \ 12,6 \ = \ \frac{AQ}{QP} \ = \ \frac{h+40}{QP}[/tex]

[tex]\tan \ 11,7 \ = \ \frac{BQ}{QP} \ = \ \frac{h}{QP}[/tex]

Dermed får vi:
[tex]\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} \ = \ \frac{\frac{h+40}{\cancel{QP}}}{\frac{h}{\cancel{QP}}} \ = \ \frac{h+40}{h}[/tex]

Som skulle vises. :D
longfellow
Cayley
Cayley
Innlegg: 68
Registrert: 22/11-2004 21:28

Ja jeg ser forholdet når du setter opp den fremstillingen der, men blir venda mer vis på neste spørsmål da:

Bruk resultatet i 1 til å bestemme h.[/b]
Realist1
Euclid
Euclid
Innlegg: 1993
Registrert: 30/01-2007 20:39

[tex]\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} \ = \ \frac{h+40}{h}[/tex]

Sett [tex]u \ = \ \frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7}[/tex] for enkelhets skyld.

[tex]h \cdot u = h + 40 \\ hu - h = 40 \\ h(u-1) = 40 \\ \ \\ \ \\ h \ = \ \frac{40}{u-1} \ = \ \frac{40}{\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} - 1} \ = \ \frac{40}{\frac{\tan \ 12,6 \ - \ \tan \ 11,7}{\tan \ 11,7}}[/tex]


som til slutt gir det eksakte uttrykket:
[tex]h = \frac{40 \cdot \tan (11,7)}{\tan \ 12,6 \ - \ \tan \ 11,7} \ \approx \ 504 m[/tex]

Kan det stemme?
longfellow
Cayley
Cayley
Innlegg: 68
Registrert: 22/11-2004 21:28

Hei

hva skjer med -1 helt på slutten av utregningen?
Atreides
Noether
Noether
Innlegg: 26
Registrert: 26/11-2009 14:38

longfellow skrev:Hei

hva skjer med -1 helt på slutten av utregningen?
Den blir ganget opp for å gjøre fellesnevner?
Realist1
Euclid
Euclid
Innlegg: 1993
Registrert: 30/01-2007 20:39

Realist1 skrev: [tex]h \cdot u = h + 40 \\ hu - h = 40 \\ h(u-1) = 40 \\ \ \\ \ \\ h \ = \ \frac{40}{u-1} \ = \ \frac{40}{\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} - 1} \ = \ \frac{40}{\frac{\tan \ 12,6 \ - \ \tan \ 11,7}{\tan \ 11,7}}[/tex]


som til slutt gir det eksakte uttrykket:
[tex]h = \frac{40 \cdot \tan (11,7)}{\tan \ 12,6 \ - \ \tan \ 11,7} \ \approx \ 504 m[/tex]
La oss se på bare nevneren. Vi har:
[tex]\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} - 1[/tex]

Da kan vi gjøre om 1 til fellesnevner slik:
[tex]\frac{\tan \ 12,6}{\tan \ 11,7} - \frac{\tan \ 11,7}{\tan \ 11,7}[/tex]

Siden vi har samme nevne kan vi slå det sammen til én brøk:
[tex]\frac{\tan \ 12,6 \ - \ \tan \ 11,7}{\tan \ 11,7}[/tex]


Var det mer forståelig da?
longfellow
Cayley
Cayley
Innlegg: 68
Registrert: 22/11-2004 21:28

Hvis jeg har forstått det riktig nå så ganger man -1 med tan 11,7 slik at det blir felles nevner i den bruddne brøken. Så ganger man med oppe å nede på hele brøken slik at det blir en ubrudden brøk. stemmer dette?

Uansett takk for hjelpen ;)
jos
Dirichlet
Dirichlet
Innlegg: 160
Registrert: 04/06-2019 12:01

Går ut fra at A står for toppen av masten. Da får vi:

$tanAPQ = \frac{h + 40}{PQ}$

$tanBPQ = \frac{h}{PQ}$

$\frac{tanAPQ}{tanBPQ} = \frac{tan12.6^0}{tan11.7^0} = \frac{\frac{h + 40}{PQ}}{\frac{h}{PQ}} = \frac{h + 40}{h}$
Svar