matematikk.net

[tex]\int{e^x cos(x)}\text{dx}[/tex]
Hva gjør jeg her?

Tore Tangens skrev:[tex]\int{e^x cos(x)}\text{dx}[/tex]
Hva gjør jeg her?

prøv delvis integrasjon ett par ganger, og manipuler etterpå...
dette skal føre nok fram...

Ah. Manipulere ved å se etter at samme integral oppstår som man begynte med er helt nytt for meg.


[tex]\int{e^x cos(x)}dx=sin(x)e^x -\int{sin(x)e^x}dx[/tex]
[tex]\int{e^x cos(x)}dx=sinx(x) e^x-(-cos(x)e^x -\int{-cos(x)e^x}dx)[/tex]
...
2·[tex]\int{e^x cos(x)}dx=e^x (sin(x)+cos(x))[/tex]
[tex]\int{e^x cos(x)}dx=\frac{1}{2}e^x (sin(x)+cos(x))[/tex]

Regner med det ikke er enklere måter i dette eksempelet?

Nei, jeg mener dette er den enkleste metoden...

(PS, du har et minus-tegn for mye i 2. linje helt til høyre, ellers bra).

(Ser ikke noen minus for mye jeg )

Eventuelt kan du bruke komplekse tall:

[tex]e^{ix}=\cos x +\i \sin x[/tex]

Gang med [tex]e^x[/tex]:

[tex]e^x e^{ix}=e^{x(1+i)}=e^x \cos x + i e^x \sin x[/tex]

Legg merke til at realdelen er det samme som du har lyst til å integrere. Vi forventer derfor at om vi integrerer dette på vanlig måte, vil det være realdelen vi er interessert i.

[tex]\int e^x \cos x+i\e^x \sin x dx = \int e^{x(1+i)} dx = \frac{1}{1+i}e^{x(1+i)}=\frac{1-i}{2}(\cos x + i\sin x)[/tex]

Vi regner ut, og ender opp med at:

[tex]\int e^x \cos x dx = \frac{e^x}{2}(\cos x + \sin x)[/tex]

Akkurat som vi håpet på.

Har bare hatt såvidt litt overfladisk om komplekse tall på R2, anledning 2ordens difflign, så jeg klarte ikke følge deg. Men likevel veldig interesant "å vite" at det finnes slike ting på veien foran meg. Altid fint å la ting få putre på svak varme i bakhodet en stund før det dukker opp rundt neste side i skoleboka.