matematikk.net

Hei hei, slet med nok en differensiallikning i dag:

[tex]2x \cdot y \prime +y=1[/tex]

Fasitsvar: [tex]y=1-C\cdot \frac {1}{sqrt x}[/tex]

Dette har jeg gjort så langt:


[tex]2x \cdot y \prime +y=1[/tex] Ganger hele likningen med [tex]\frac {1}{2x}[/tex]

[tex]y\prime + \frac {y}{2x}=\frac {1}{2x}[/tex]

[tex]y\prime=\frac {1}{2x}-\frac {y}{2x}[/tex]

[tex]y\prime=(1-y)\frac {1}{2x}[/tex] Ganger hele likningen med [tex]\frac {1}{1-y}[/tex]

Og får noe á la:

[tex]\int \frac {1}{1-y} dy=\int \frac {1}{2x}dx[/tex]

[tex]-ln|1-y|=\frac {1}{2}\cdot ln |x|+C\prime[/tex]

[tex]-ln|1-y|=ln|x^{\frac {1}{2}}|+C[/tex]

[tex]ln|y-1|=ln|sqrt {x}|+C[/tex]

[tex]e^{ln|y-1|}=e^{ln|sqrt {x}|+C[/tex]

[tex]y-1=sqrt {x}\cdot C[/tex]

[tex]y=1+sqrt {x}\cdot C[/tex]

Hvor ligger feilen?

[tex]-ln|1-y|=ln|x^{\frac{1}{2}}|+C[/tex]

[tex]ln|(1-y)^{-1}|=ln|x^{\frac{1}{2}}|+C[/tex]

[tex]e^{ln|(1-y)^{-1}|}=e^{ln|x^{\frac{1}{2}}|+C}[/tex]

[tex](1-y)^{-1}=C\sqrt{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,C=\pm e^C[/tex]

[tex]\frac{1}{1-y}=C \sqrt{x}[/tex]

[tex]1=C \sqrt{x}(1-y)[/tex]

[tex]1-y=\frac{1}{C \sqrt{x}}[/tex]

[tex]-y=\frac{1}{C \sqrt{x}}-1[/tex]

[tex]y=1-\frac{1}{C \sqrt{x}}[/tex]

[tex]y=1-\frac{C}{\sqrt{x}}[/tex]

Se der ja Burde ha husket på at [tex]-ln(1-y)=ln 1 - ln(1-y)=ln \frac {1}{1-y}[/tex]

Takker.

hmm...
hvorfor blir [symbol:integral] 1 / (1-y) = -ln|1-y|??
Hvor kommer det negative fortegnet fra?

Fordi at en av reglene for integrasjon tilsier at:

[tex]\int f(ax+b)dx=\frac {1}{a}F(ax+b)+C[/tex]

Når a og b er konstanter og F er en antiderivert til funksjonen.

Og i vårt tilfelle er a=-1, ergo blir den negativ.