Integral

[gabel]

[tex]\int{\sqrt{x^2+1}dx}[/tex]

Trenger noen tips her, kommer ikke frem til noe fornuftig i det hele tatt.

[Vektormannen]

Den der er ikke lett å integrere på vgs-nivå tror jeg ... Mulig jeg tar feil, men. Maxima sier hvertfall at det involverer blant annet funksjonen "sinh(x)". I hvilken sammenheng er det du skal integrere dette?

[meCarnival]

Litt usikker på fremgangsmåten når jeg ser svaret fra 89'n: [tex]\frac{ln|\sqrt{x^2+1}+x|}{2}+\frac{x\sqrt{x^2+1}}{2}[/tex]

[gabel]

Jeg har kommet frem til ett svar, men det er 13 ganger større en det jeg finner ved og bruke kalklis.

Dette er egentli integral som har grensene 0 og 10. Men det har vel ikke så veldig mye og si før vi nermer oss slutten ? Så tar det med i slutten av oppgaven, pga det blir så evi my rot i koden.


[tex]f(x)=\sqrt{x^2+1},f^{,}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \quad u = x^2+1, x=\sqrt{u-1}\\ \\ \int{\int{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx \quad \quad dx = \frac{du}{2x}=\frac{du}{2\sqrt{u-1}}[/tex]

[tex]\int{\int{\frac{\sqrt{u-1}}{2\sqrt{u}\sqrt{u-1}}du=\frac{1}{2}\int{\int{\frac{1}{\sqrt{u}}}du}[/tex]

Jeg deler det opp i to omganger, der jeg først tar integrale av [tex]\frac{1}{2\sqrt{u}}[/tex]



[tex]\frac{1}{2}\int{\frac{1}{\sqrt{u}}=\frac{1}{2}[\frac{2\sqrt{u}}{1}] = \sqrt{u}[/tex]


Jeg tar integrale enda engang og får:

[tex]\int{\sqrt{u}du}=\frac{2}{3}u^{3/2}=\frac{2}{3}u\sqrt{u}[/tex]

Så tilpasser jeg de nye grensene.

[tex]u_{nedre} = 0^2 + 1 = 1, \quad u_{ovre} = 10^2 +1 = 101[/tex]

Da får jeg:
[tex][\frac{2}{3} 101\sqrt{101} - \frac{2}{3}]_{1}^{101} = \frac{2}{3}[101\sqrt{101}-1] \approx 676[/tex]

Jeg har tatt vek en del led, er det noe som er utydli så si ifra, så skal jeg prøve og forklare bedre. Jeg finner ingen feil her, noen innspill?

[mrcreosote]

Et opp-av-hatten-triks, men dette funker: La u være så [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2[/tex] og regn til du sprekker.

[meCarnival]

Ikke rart jeg ikke skjønte noe når det dobble intergraler.. Kommer vel til høsten hos meg det =P

[gabel]

Et opp-av-hatten-triks, men dette funker: La u være så [tex]x=\frac{e^u-e^{-u}}2[/tex] og regn til du sprekker.

Hvor fikk du dette fra? Aldri sett den før :/

[Markonan]

Det er hyperbolsk sinus.
http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

[gabel]

Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

[Gustav]

[tex]\int \sqrt{x^2+1}\,dx[/tex]

Sett [tex]x=\sinh(u)[/tex].

[tex]\Rightarrow dx=\cosh(u)du[/tex]

Da fås

[tex]\int \cosh^2(u)\,du[/tex]

Har at [tex]\cosh^2(u)=\frac{1}{2}(\cosh(2u)+1)[/tex] så integralet blir

[tex]\int \cosh^2(u)\,du=\frac{1}{2}\int \cosh(2u)+1\,du=\frac{1}{4}\sinh(2u)+\frac{1}{2}u+C=\frac{1}{2}(\sinh(u)\cosh(u)+u)+C\\=\frac{1}{2}(x\cosh(asinh(x))+asinh(x))+C[/tex]

Siden [tex]asinh(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1})[/tex] er

[tex]\frac{1}{2}(x\cosh(asinh(x))+asinh(x))+C=\frac{1}{4}(x(x+\sqrt{x^2+1}+(x+\sqrt{x^2+1})^{-1}))+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C[/tex]

Har at

[tex]\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=-(x-\sqrt{x^2+1})[/tex] så integralet blir

[tex]\frac{1}{4}(x(x+\sqrt{x^2+1}-x+\sqrt{x^2+1}))+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C=\frac{1}{2}(x\sqrt{x^2+1})+\frac{1}{2}\ln(x+\sqrt{x^2+1})+C[/tex]

[orjan_s]

Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

Skjønner ikke hvorfor du blander inn dobbeltintegraler her? Hva er det oppgaven egentlig sier? Er oppgaven kun å regne ut integralet i den første posten fra 0 til 10 eller?

[Gustav]

Bemerkning: Siden[tex] x+\sqrt{x^2+1}>0[/tex] for alle reelle x, er det unødvendig med absoluttverditegnet inni logaritmen.

Den metoden med å innføre en dobbelt antiderivert ser litt pussig ut i mine øyne...

Er dette virkelig en oppgave på VGS-nivå?

[gabel]

Men, er det noen som kan svare meg hvorfor min utregning blir feil?

Skjønner ikke hvorfor du blander inn dobbeltintegraler her? Hva er det oppgaven egentlig sier? Er oppgaven kun å regne ut integralet i den første posten fra 0 til 10 eller?

Nei, det gjør det ikke. Men jeg får forenkla uttrykke endel med og bruke den derivere av funksjonen.

[meCarnival]

Hvorfor ligger denne under VGS lurer jeg mest på...

[mrcreosote]

Er nok en relativt vanskelig vgs-oppgave, men absolutt overkommelig om man bare blir sparka i riktig retning. Bare fint å ha noe å strekke seg etter.