matematikk.net

Hei!

Trenger litt hjelp med denne;

Tre sirkler med sentre i S1, S2 og S3 har radiene a, b og c. Alle sirklene tangerer linja l. Tangeringspunktene er A, B og C. Sirklene tangerer hverandre parvis i punktene D, E og F slik figuren under viser.


1. Forklar at S1S2=a+b. Finn også S1S3 og S2S3 uttrykt ved radiene. (Gjort)
2. Bruk Pytagoras og vis at [tex]AC=2sqrt{ab}[/tex] (Gjort)
3. Vis på samme måte at [tex]AB=2sqrt{ac} og BC=2sqrt{bc}[/tex] (Gjort)
4. Bruk resultatene fra 2 og 3 til å vise følgende sammenheng mellom radiene i sirklene:
[tex]\frac {1}{sqrt{c}} = \frac {1}{sqrt{a}} +\frac {1}{sqrt{b}}[/tex]
5. Vi setter a=b=r. Finn c uttrykt ved r.

Trenger da hjelp til 4 og 5.

I 2 og 3 fikk jeg dette:
[tex]AC^2=(a+b)^2-(a-b)^2[/tex]
[tex]AC^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2[/tex]
[tex]AC^2=2ab+2ab[/tex]
[tex]AC=sqrt{4ab}[/tex]
[tex]AC=2sqrt{ab}[/tex]

[tex]AB^2=(a+c)^2-(a-c)^2[/tex]
[tex]AB^2=a^2+2ac+c^2-a^2+2ac-c^2[/tex]
[tex]AB^2=2ac+2ac[/tex]
[tex]AB=sqrt{4ac}[/tex]
[tex]AB=2sqrt{ac}[/tex]

[tex]BC^2=(c+b)^2-(c-b)^2[/tex]
[tex]BC^2=c^2+2cb+b^2-c^2+2cb-b^2[/tex]
[tex]BC^2=2cb+2cb[/tex]
[tex]BC=sqrt{4cb}[/tex]
[tex]BC=2sqrt{bc}[/tex]

I 4 vet jeg at jeg skal ha AC=AB+BC, men jeg skjønner ikke helt hvordan jeg skal komme meg videre til å få
[tex]\frac {1}{sqrt{c}} = \frac {1}{sqrt{a}} +\frac {1}{sqrt{b}}[/tex]

Hvis noen da kan hjelpe meg litt på vei, hadde det vært utrolig awesome!

[tex]AC=AB+BC\\2\sqrt{ab}=2\sqrt{ac}+2\sqrt{bc}[/tex]
Ganger begge sider med [tex]\frac{1}{2\sqrt{abc}}[/tex]
[tex]\frac{2\sqrt{ab}}{2\sqrt{abc}}=\frac{2\sqrt{ac}}{2\sqrt{abc}}+\frac{2\sqrt{bc}}{2\sqrt{abc}}[/tex]
Forkorter: Husk at [tex]\sqrt{ab}=\sqrt a\cdot \sqrt b[/tex]
[tex]\frac{1}{\sqrt c}=\frac{1}{\sqrt b}+\frac{1}{\sqrt a}[/tex]

Der ja, var ikke verre enn det.
Vet ikke helt hvorfor jeg strevde med den nå, men jeg antar at jeg prøvde å gjøre ting vanskeligere enn de er og overså den lette løsningen.

Takk for hjelpen!