lekkasje-oppgave (derivasjon)

[julrii]

Hei alle sammen!


Oppgave 5.

"En beholder har lekk. Antall liter som er igjen i beholderen etter t minutter etter at lekkasjen startet er gitt ved funksjonen":

V (t) = 5000 * 0,89^t

c) Når er lekkasjen 10 liter per minutt?




Takk for svar!

[Realist1]

Du skal altså finne når vekstfarten er -10
Var det et hint?

[julrii]

Mener du:

-10 = 5000 * 0,89 ^t

også bruke:

a = b^t
t = (ln b) / (ln a)?

[Vektormannen]

Nei, representerer V(t) vekstfarten? Hva må du gjøre for å finne en funksjon for vekstfarten tror du?

[julrii]

Den deriverte av funksjonen?

V'(t) = 4450 * t

10 (L/min) = 4450 * t

t = 10 / 4450

t = 0,0025 min?

[Realist1]

bruke:

a = b^t
t = (ln b) / (ln a)?

Just for the record:
Hvis [tex]a = b^t[/tex], så er [tex]t = \frac{\ln a}{\ln b}[/tex] (ikke omvendt).

Men dette er feil fremgangsmåte i denne oppgaven. Hør på Vektormannen.

[Vektormannen]

Den deriverte av funksjonen?

V'(t) = 4450 * t

10 (L/min) = 4450 * t

t = 10 / 4450

t = 0,0025 min?

Nei, det er ikke slik du deriverer eksponentialfunksjoner. Du forveksler antageligvis med [tex](x^n)^\prime = nx^{n-1}[/tex]. Regelen for potenser med variabelen som eksponent er [tex](a^x)^\prime = a^x \cdot \ln a[/tex]

[julrii]

Ja, det gikk litt fort i svingene..

V'(t) = 5000 * 0,89^t * ln(4450)

10 (L/min) = 5000 * 0,89^t * ln(4500)

10 / 8,4 = 5000 * 0,89^t

t = (ln 1,2) / (ln 4450)

t = 0,022 liter per minutt!

[julrii]

*ikke L/min --> men min

[Vektormannen]

Du surrer nok litt her. Veksfarten skal være lik -10. Og hvor får du ln(4500) fra?

edit: ah, tror jeg ser hva du har gjort. I dette uttrykket så er a = 0.89, ikke [tex]5000 \cdot 0.89[/tex]. Det er tallet som er opphøyd i t som skal tas logaritmen av.

[julrii]

Du har rett!

Om jeg setter -10 L/min

og setter ln (0,89)


Så får jeg t = 0,53 min
Virker det rimelig?

[Vektormannen]

Nei, det er feil. Hvordan gikk du fram?

[julrii]

V'(t) = 5000 * 0,89^t * ln (0,89)
-10 = 5000 * 0,89^t * ln (0,89)
-10 / ln (0,89) = 5000 * 0,89^t

t = (ln 85,8) / (ln 4450)

t = 0,53

[Vektormannen]

Nei, ln(5000 * 0.89^t) er ikke lik t * ln(5000 * 0.89), men heller ln(5000) + t * ln(0.89).

[julrii]

Greit, så:

V'(t) = ln (5000 * 0,89^t)
V'(t) = ln (5000) + t * ln (0,89)
V'(t) = - (ln 5000) / ln 0,89)
V'(t) = - (-73,1)
V'(t) = 73,1

73,1 minutter?