matematikk.net

Emnetittelen er vel beskrivende... Hvordan behandler en kvadrering av ulikheter? -3 < 2 stemmer, men ikke 9 < 4. Er det ikke slik at en må ha kjennskap til om tallene en kvadrerer med er negative eller positive for å kunne kvadrere en ulikhet? Jeg opplever at lærebøker kvadrerer ulikheter i hytt og pine, men de benytter seg kanskje da av forbehold om at tallene på begge sidene i ulikheten er positive, o.l.!?

Hvis du ganger eller deler med et negativt tall på begge sider, må du skifte retning på krokodillemunnen.

Men hva hvis bare en av sidene er negative, Emomilol? Eller hvis den ene siden er negativ i et visst løsningsintervall? Disse spørsmålene blir aktuelle hvis du har en ulikhet med en kvadratrot. Generell fremgangsmåte for slike problem finner du her:

http://planetmath.org/encyclopedia/Squa ... ality.html

Skal oppsummere det som står på siden kjapt.

Det er to tilfeller:

sqrt(a)<b (1)

sqrt(a)>b (2)

Tilfelle (1) er lett. a og b må være større enn null, siden a står under en kvadratrot, og resultatet av å ta en kvadratrot alltid er positivt. Da kan man uten problemer kvadrere begge sidene.

I tilfelle (2), må man ta utgangspunkt i at a skal være større enn null. Man ender opp med to del-løsninger som kombineres. Eksempel:

a=2x+3 og b=2x gir ulikheten

sqrt(2x+3)>2x

a>0 gir 2x+3>=0 --> x>-3/2, altså må x være større enn -3/2. Vi ser først på tilfellet der x er negativ: -3/2<=x<0. Dette er den ene del-løsningen.

Så kan vi se på tilfellet der x er positiv. Da er begge sidene positive, og vi kan kvadrere begge sidene:

2x+3>4x^2

4x^2-2x-3<0

4(x-1,15)(x+0,65)<0

Ved å bruke fortegnsskjema finner man at 0<=x<1,15 (siden x nå skulle være positiv). Dette er den andre del-løsningen

Kombinasjonen av disse gir -3/2<=x<1,15

Men hva hvis b=-2x ?

Da har vi ulikheten

sqrt(2x+3)>-2x

2x+3>=0 gir som før x>=-3/2, og ved å se på der x er negativ får vi nok en gang 0>x>=-3/2 som den første del-løsningen.

Nå ser vi på tilfellet der x er positiv:

sqrt(2x+3)>-2x

Siden x er positiv er -2x negativ, og ulikheten stemmer for alle positive x da resultatet av å ta kvadratroten av noe alltid er positivt, og dermed større enn noe negativt. Den andre del-løsningen blir 0<=x<Inf.

Kombinasjonen gir -3/2<=x<Uendelig