Nye derivasjonsregler...

[Mom79]

Jeg skal derivere:

y = x^(-1) ∙ √x

Stemmer det at svaret blir
y´= 〖-x〗^(-2) ∙ 1/(2√x) som igjen kan skrives som
y´= - x^(-2)/(2√x) ??

Hva med:
y = x^3 ∙ln(e^x )

Her finner jeg at svaret er:
y´= 〖3x〗^2 ∙ 1/e^x som igjen kan skrives som
y´= 〖3x〗^2/e^x

Stemmer dette?

Takknemlig for alle svar som kan hjelpe meg til å forstå reglene og logikken i derivasjon...

[daofeishi]

Nei, dette stemmer nok ikke. Derivatet av et produkt er IKKE det samme som produktet av derivatene.

Her er et eksempel:
[tex]\frac{{\rm}d}{{\rm d}x} x \cdot x = \frac{{\rm}d}{{\rm d}x} x^2 = 2x[/tex]

MEN

[tex]\left( \frac{{\rm}d}{{\rm d}x} x\right) \left( \frac{{\rm}d}{{\rm d}x} x\right) = 1 \cdot 1 = 1[/tex]

Det finnes dog noe som heter produktregelen

Denne regelen trenger du ikke for uttrykkene over, siden begge to kan skrives på en enklere form som er lett å derivere.

[moth]

[tex]y=x^{-1}\cdot\sqrt{x}[/tex]

Hvis det er dette du mener på den første så kan jo den skrives om til [tex]\frac{\sqrt{x}}{x}[/tex]

Så er det bare å bruke formelen for derivasjon av brøk som gir [tex]\frac{(\sqrt{x})^\prime x-\sqrt{x}x^\prime}{x^2}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex]

Eller du kan bruke produktregelen:

[tex](x^{-1})^\prime\cdot\sqrt{x}+x^{-1}\cdot(\sqrt{x})^\prime=-\frac{2\sqrt{x}}{2x^2}+\frac{x}{2x^2\sqrt{x}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex]

Den andre blir [tex]y=x^3\cdot ln(e^x)[/tex]

Her må du bruke kjerneregelen sammen med produktregelen. Det gir:

[tex]y^\prime=(x^3)^\prime ln(e^x)+x^3(ln(e^x))^\prime e^x=3x^2ln(e^x)+\frac{x^3e^x}{e^x}=3x^2ln(e^x)+x^3[/tex]

Håper det hjelper litt, var ikke så enkelt å se hva du hadde som svar, kom med noen merkelige tegn der

[daofeishi]

Ikke gå over bekken etter vann, thmo Jeg foreslår heller at du skriver [tex]x^{-1}\sqrt{x} = x^{-1}x^{\frac 1 2} = x^{-\frac 1 2}[/tex], og husker at [tex]\ln e^x = x[/tex]

[moth]

Hehe, du har rett, jeg gjorde det nok litt vanskeligere enn nødvendig. Må virkelig lære meg å tenke over slike ting

[Mom79]

Takk for svar! Har sittet her og lest gjennom. It makes sense!

Jeg skjønner at mine spørsmål kan virke lette for svært mange av dere, men det er ikke lett å ta opp igjen kunnskap som ble lært for mange år siden og ikke har vært i bruk...

Så:
y = x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x

y´= - (1) / 2x [symbol:rot] x

Eller sagt på en annen måte:

y´= -1/2 x[sup]-1/2[/sup] (Minus enhalv x opphøyd i minus enhalv)

(Beklager disse rare oppstillingene som jeg har, jeg må lære meg hvordan jeg legger ut formler her...)

Men forklaringen på at ln (e[sup]x[/sup]) = x gjør meg litt usikker. Skal en da ta oppgaven som er:
x[sup]3[/sup] ganger ln(e[sup]x[/sup])
og skrive denne som x[sup]3[/sup] ganger x og deretter derivere dette?

Hva med oppgaven
y = 3x[sup]3[/sup] ganger e[sup]x[/sup]

Blir dette
y´= 9x[sup]2[/sup] ganger e[sup]x[/sup] ??

På oppgaven
y = ln(x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x)

brukes da regelen
y = ln(u(x)) ??

Jeg får til svar på oppgaven: -x[sup]2[/sup]

Igjen: Takknemlig for alle svar. Dere som synes mine spørsmål blir for dumme på dette nivå: Styr unna

[daofeishi]

y = x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x

y´= - (1) / 2x [symbol:rot] x

Hvis det er [tex]\frac{{\rm d}y}{\rm{d}x} = - \frac{1}{2x \sqrt x}[/tex] du mener, så er jeg hjertens enig.

Eller sagt på en annen måte:

y´= -1/2 x[sup]-1/2[/sup] (Minus enhalv x opphøyd i minus enhalv)

Her er jeg ikke fullt så enig lenger...

Men forklaringen på at ln (e[sup]x[/sup]) = x gjør meg litt usikker.

Ta en titt på definisjonen av logaritmer. Ln(x) er definert slik at [tex]e^{\ln x} = x[/tex].

Skal en da ta oppgaven som er:
x[sup]3[/sup] ganger ln(e[sup]x[/sup])
og skrive denne som x[sup]3[/sup] ganger x og deretter derivere dette?

Så absolutt.

Hva med oppgaven
y = 3x[sup]3[/sup] ganger e[sup]x[/sup]

Blir dette
y´= 9x[sup]2[/sup] ganger e[sup]x[/sup] ??

NEI! Les posten over en gang til. Derivatet av et produkt er IKKE lik produktet av derivatene. Bruk produktregelen.

På oppgaven
y = ln(x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x)

brukes da regelen
y = ln(u(x)) ??

Jeg får til svar på oppgaven: -x[sup]2[/sup]

Stemmer ikke. Prøv å gjøre utregningen en gang til, og si ifra hvis det skjærer seg igjen.



Jeg tok meg den frihet å flytte posten over i vgs-forumet.

[Mom79]

Læreboken min sier at den deriverte til den naturlige eksponensialfunksjonen f(x) = e[sup]x[/sup] er f´(x) = e[sup]x[/sup]

Så når den deriverte av oppgaven y = 3x[sup]3[/sup] x ganger e[sup]x[/sup] IKKE er y´= 9x[sup]2[/sup] ganger e[sup]x[/sup] så blir jeg litt usikker...

Læreboken er ikke til hjelp akkurat her.

Noen som har et godt tips til en lærebok som forklarer derivasjon fra bunnen av? Jeg trenger å få derivasjon inn med teskje, tydeligvis.

Så den deriverte av oppgaven
y = ln (x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x)
er IKKE = -X[sup]2[/sup] ??

Jeg tenkte som så:

y´= (-x[sup]-2[/sup] ganger x opphøyd i enoghalv) delt på (x[sup]-1[/sup] ganger x opphøyd i enoghalv)

Er tankegangen helt feil??

Oppgaven
y = x[sup]3[/sup] ganger ln(e[sup]x[/sup]) forkortes til
y = x[sup]3[/sup] ganger x

Her får jeg svaret
y´= 4x[sup]3[/sup] pluss [symbol:rot] x

Er dette feil?

Daofeishi: Gjør ingenting at du flyttet dette til vgs-nivå. Håper flere enn meg lærer noe her

[daofeishi]

Læreboken min sier at den deriverte til den naturlige eksponensialfunksjonen f(x) = e[sup]x[/sup] er f´(x) = e[sup]x[/sup]

Dette stemmer. Den deriverte av [tex]e^x[/tex] er [tex]e^x[/tex].

Så når den deriverte av oppgaven y = 3x[sup]3[/sup] x ganger e[sup]x[/sup] IKKE er y´= 9x[sup]2[/sup] ganger e[sup]x[/sup] så blir jeg litt usikker...

Det er fordi, som vi har fastslått over, når du deriverer produktet av to funksjoner, ender du ikke opp med produktet av de deriverte av de to funksjonene. Husk: [tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x}[f(x)g(x)] = f^\prime(x)g(x) + f(x)g^\prime(x)[/tex].
Derfor: [tex]\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} (3x^3 e^x) = (\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} 3x^3)e^x + 3x^3(\frac{{\rm d}}{{\rm d}x} e^x) = 9x^2e^x + 3x^3e^x = (3x^3 + 9x^2)e^x[/tex]

Så den deriverte av oppgaven
y = ln (x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x)
er IKKE = -X[sup]2[/sup] ??

Du brukte vel at [tex] \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \ln(f^\prime(x)) = \frac{f^\prime(x)}{f(x)}[/tex]. Hvis du gjør det på den måten, må du passe på at derivatet ditt er korrekt. En mye enklere måte å gjøre det på, er å skrive [tex]\ln(x^{-1} \sqrt x) = \ln(x^{- \frac 1 2})[/tex] og forenkle dette uttrykket ved hjelp av en velkent logaritmeregel

Oppgaven
y = x[sup]3[/sup] ganger ln(e[sup]x[/sup]) forkortes til
y = x[sup]3[/sup] ganger x

Her får jeg svaret
y´= 4x[sup]3[/sup] pluss [symbol:rot] x

Er dette feil?

Ja, dette er feil. Hvor kommer "pluss [symbol:rot] x" fra?

[Mom79]

Huff, i stedet for å gå i frø nå, så gjør jeg noen andre matteoppgaver... Kommer nok tilbake til denne tråden når jeg har tenkt og regnet litt til...

[Mom79]

Jeg har brukt de siste dagene til å se på eksempler, lese og regne.

Oppgaven
y=x[sup]3[/sup] ganger ln(e[sup]x[/sup])
y´= 4x[sup]3[/sup] ???

Oppgaven
y=ln(x[sup]-1[/sup] ganger [symbol:rot] x)
y´= 1 delt på 2x [symbol:rot] x ???

Men oppgaven
y= [symbol:rot] x[sup]3[/sup] minus [symbol:rot] 3x[sup]2[/sup] tror jeg må være feil løst av meg. Jeg er usikker på hvordan jeg skal angripe dette (ja, jeg vet...), men jeg har tenkt slik:
y´= [symbol:rot] 3x[sup]2[/sup] - [symbol:rot] 6x

Her trenger jeg noen gode tips!

[moth]

Jeg tror du har litt feil på denne: [tex]y=ln(\frac{\sqrt{x}}{x})[/tex]

Hvis du husker at [tex](\frac{\sqrt{x}}{x})^\prime=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex]

så blir [tex]ln(\frac{\sqrt{x}}{x})[/tex] derivert til [tex]-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex] ganget med [tex]\frac{x}{\sqrt{x}}[/tex]

Dette er kjerneregelen. No klarer du sikkert å regne den ut selv

På den siste [tex]y=\sqrt{x^3}-\sqrt{3x^2}[/tex] kan du skrive det om til [tex]y=x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{3}x[/tex], og her kan du bare bruke vanlige potensregler for derivasjon. Prøver du litt så får du det til

[Mom79]

Jeg tror du har litt feil på denne: [tex]y=ln(\frac{\sqrt{x}}{x})[/tex]

Hvis du husker at [tex](\frac{\sqrt{x}}{x})^\prime=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex]

så blir [tex]ln(\frac{\sqrt{x}}{x})[/tex] derivert til [tex]-\frac{1}{2x\sqrt{x}}[/tex] ganget med [tex]\frac{x}{\sqrt{x}}[/tex]

Dette er kjerneregelen. No klarer du sikkert å regne den ut selv

Jeg fikk nå til svar:
y´=-x delt på 2x[sup]2[/sup]

På den siste [tex]y=\sqrt{x^3}-\sqrt{3x^2}[/tex] kan du skrive det om til [tex]y=x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{3}x[/tex], og her kan du bare bruke vanlige potensregler for derivasjon. Prøver du litt så får du det til

Jeg fikk her til svar:

y´= 3/2 [symbol:rot] x - 3.

(Ser du har satt at [symbol:rot] 3x[sup]2[/sup] deriveres til [symbol:rot] 3x. Men er ikke det rette at det deriveres til kun 3x (uten roten)?

[moth]

[tex]-\frac{x}{2x^2}[/tex] er riktig ja bare at det kan forkortes til [tex]-\frac{1}{2x}[/tex]

Men det er viktig at du forstår hvorfor og hva som skjedde så jeg anbefaler at du prøver deg selv igjen på nytt. Kjerneregelen er ikke noe vanskelig når du bare får til å bruke den og blir vant til den. Det trengs bare øvelse

Jeg tror du misforsto den andre. Jeg mente ikke at den deriverte var [tex]\sqrt{3}x[/tex],

men at [tex]\sqrt{3x^2}=\sqrt{3}x[/tex] sånn at du kan skrive det om til det for at det skal bli enklere å derivere.

[tex]y=x^{\frac{3}{2}}-\sqrt{3}x[/tex] er ganske lett å derivere hvis du bare bruker regelen:

[tex]f(x)=ax^n[/tex] blir til [tex]f ^\prime(x)=nax^{n-1}[/tex]

[Karl_Erik]

Det virker som du hovedsaklig har problemer med to typer derivasjon - derivasjon med bruk av produktregelen og derivasjon med bruk av kjerneregelen. Prøv å gjøre oppgavene litt tungvinte når du øver på dem. Får du f.eks beskjed om å derivere [tex]ln(x^2 - 2x[/tex] kan det lønne seg å ta en linje der du skriver [tex]u=x^2-2x[/tex] og uttrykket du skal derivere om til [tex]ln(u)[/tex]. Når du først har derivert dette med kjerneregelen kan du så sette inn hva u er lik og hva u' er lik. Kort sagt - har du problemer med noe lønner det seg å gjøre det så nøye du bare klarer. Som thmo sier er det ikke vanskelig i det hele tatt når du først får det til, så det kan ofte være lurt å bruke litt tid på å få det til ordentlig.