matematikk.net

"In practice one often uses the rule and, if the resulting limit exists, concludes that it was legitimate to use l'Hôpital's rule."

Så hvis svaret vi får er et endelig tall, etter at vi har derivert x antall ganger, så rettferdiggjør det bruken av det?

Høres i så fall utrolig lettvint ut.

slettet

l'Hopitals regel sier jo at om grenseverdien av f'/g' eksisterer er den lik grenseverdien av f/g. Om du har derivert en fire-fem ganger og finner ut at, joda, f''''/g'''' eksisterer, så er den lik f/g - ingenting usikkert med det. Antar det de prøver å poengtere er at man av og til finner ut at f'/g' ikke eksisterer selv om f/g gjør det - i slike tilfeller er det ingen vits i å bruke l'Hopital. Vet dog ikke helt om dette er svar på spørsmålet ditt, beklager.

Takk for svaret, var jo akkurat det jeg spurte om. Tenkte jeg bare skulle få bekreftet det som står på Wikipedia.

Joda, har jo lest at det fins grenser det ikke gir noen mening å bruke l'Hopital på, som denne, da man ender opp med å derivere i sirkler:

[tex]\lim_{x \to \infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}[/tex].

Grenseverdien er visst 1, btw.

Prøv deg på denne: Finn [tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln x}}x[/tex].

mrcreosote skrev:Finn [tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln x}}x[/tex].

Siden [tex]e^{lnx}=x[/tex] for alle (positive) x, kan vi skrive omskrive.

[tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln x}}{x}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{x}{x}[/tex]

Deriverer teller og nevner hver for seg og får grenseverdien 1.

Selvfølgelig er løsningen din helt riktig, men antar mrcreosote prøvde å illustrere hva som kan skje om man holder seg for slavisk til l'Hopital uten å tenke over det man faktisk driver med. La oss late som vi ser grenseverdien [tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln x}}x[/tex] og legger merke til at både teller og nevner går mot uendelig. "Aha," tenker vi, "her kan vi bruke l'Hopital!" Vi deriverer teller og nevner hver for seg og står igjen med [tex]\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{x}e^{\ln x}}1 = \lim_{x\rightarrow\infty}\frac{e^{\ln x}}x[/tex]; deriverer igjen og står igjen med samme enda en gang. Leste en tråd på xkcd-forumet i sin tid der en lærer fortalte om en elev som hadde fått denne grenseverdien på en prøve og brukt l'Hopital til å regne den ut. Tiden gikk desverre ut uten at han rakk å bli ferdig, så han så seg nødt til å skrive "Jeg har ikke tid til å fullføre dette, men det er åpenbart at det kommer til å fungere!".

Skjønner. Ja, å følge metoder slavisk er ikke noe jeg har god erfaring med.

Morsom historie forresten. Åpenbart