matematikk.net

Oppgave 8.282 i Cosinus er litt vrien, noen som kunne hjulpet meg litt?

Kurven K er gitt ved vektorfunksjonen:

r (t) = [lnt, t^2 - 3t + 2]

b) Finn retningsvektor til tangenten i det laveste punktet på kurven
c) Vis at kurven K har ligningen y = e^2x - 3^x +2

Litt usikker, men tror det var slik.

b) Du finner når r(t) sin laveste y-verdi ved å derivere y(t)

[tex]y^\prime (t)=2t-3=0\,\ \Rightarrow t=\frac32[/tex]

Sett dette inn i r(t)

på c) kan du gå frem slik,

[tex]x(t)=x=\ln(t)[/tex]

[tex]t=e^x[/tex]

Innsatt i y(t)

[tex]y=(e^x)^2-3e^x+2=e^{2x}-3e^x+2[/tex]

c)

Ut i fra parameterframstillingen for grafen til K, kan vi finne grafens likning. Vi må ta utgangspunkt i den første likningen (x) fra parameterframstillingen, og uttrykke [tex]t[/tex] ved [tex]x[/tex] fra [tex]x=\ln{t}[/tex]:

[tex]x=\ln{t}[/tex]
[tex]e^{x}=e^{\ln{t}}[/tex] --->opphøyer i [tex]e[/tex] for å fjerne ln.
[tex]e^{x}=t[/tex]

Setter dette inn for [tex]t[/tex] i den andre likningen (y):

[tex]y=t^{2}-3t+2[/tex]
[tex]y=(e^{x})^{2}-3e^{x}+2[/tex]
[tex]y=e^{2x}-3e^{x}+2[/tex]

Håper dette var greit