2MX Eksamen 28 Mai 2008
Lagt inn: 28/05-2008 14:48
Heisann, folkens.
Da var eksamen overstått, og her har jeg skannet oppgavesettet. Jeg tar kun med bokmålsversjonen, så til de hardbarkede Ivar Aasen fans; beklager.
Her er oppgaven:
http://www.filedump.net/dumped/2mx20080828privatister1211994506.pdf
linken fungerer igjen
De av dere som vil, er velkommen til å gjøre noen oppgaver. Jeg skal gjøre endel på den senere jeg også, men jeg fikk dessverre ikke sove i natt, så du kan si jeg var rimelig zombie under eksamen.
Jeg slet spesielt på oppgave 2, som er en sannsynlighetsoppgave. Jeg synes det var vanskelig å definere hva de spurte etter der, men ga et svar, og begrunnet det iherdig, hehe.
Her er løsningen på noen oppgaver (fylles på etterhvert)
Oppgave 1
a.1.I)
[tex]3^x = 27 \\ \, \\ x ln3 = ln 27 \\ \, \\ x = \frac{ln 27}{ln 3} \\ \, \\ \underline{\underline{x = 3}}[/tex]
a.1.II)
[tex]10^{x^2} = 10^x \\ \, \\ log(10^{x^2}) = log(10^x) \\ \, \\ x^2 = x \\ \, \\ x(x - 1) = 0 \\ \, \\ \underline{\underline{x=0}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{x = 1}}[/tex]
Takk til elina for oppklaringen
a.2.I)
[tex]\sqrt{x+3} = 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kvadrerer \\ \, \\ x+3 = 2^2 \\ \, \\ \underline{\underline{x=1}}[/tex]
* Setter ikke prøve, jeg ser at svaret er riktig. - OBS: Husk å sette prøver på alle likninger hvor du kvadrerer.
a.2.II)
[tex]\sqrt{3x+7} - x = 1 \\ \, \\ \left(\sqrt{3x+7}\right)^2 = (1+x)^2 \\ \, \\ 3x + 7 = x^2 +2x +1 \\ \, \\ x^2 -x - 6 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{x_1 = 3 } \,\,\, \vee \,\,\, \underline{x_2 = -2} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \text{Sjekker for x_1} \\ \, \\ \sqrt{3\cdot 3 + 7} - 3 = \sqrt{16} -4 = \underline{1} \\ \, \\ \text{Sjekker for x_2} \\ \, \\ \sqrt{3\cdot (-2) + 7} - (-2) = 1 + 2 \not = 1 \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{x = 3}}[/tex]
b.1.I)
[tex]f(x) = 2x^3 - 5x^2 \\ \, \\ f\prime(x) = 2\cdot (x^3)\prime - 5\cdot (x^2)\prime \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = 6x^2 - 10x}}[/tex]
b.1.II)
[tex]f(x) = x\cdot lnx \\ \, \\ f\prime(x) = (x)\prime \cdot lnx + x \cdot (lnx)\prime \Rightarrow ln x + \cancel x \frac {1}{\cancel x} \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = ln x +1}}[/tex]
b.2.I)
[tex]g(x) = 5e^{2x} \\ \, \\ g\prime(x) = 5\cdot (e^{2x})\prime \Rightarrow 5 \cdot 2 \cdot e^{2x} \\ \, \\ \underline{\underline{10e^{2x}}}[/tex]
b.2.II)
[tex]g(x) = \frac{e^{2x}}{x^2} \\ \, \\ g\prime(x) = \frac{\left((x^2)\prime \cdot e^{2x} \right) - \left(x^2 \cdot (e^{2x})\right)}{x^{2\cdot 2}} \Rightarrow \frac{2\cancel x \cdot e^{2x} - x^{\cancel 2} \cdot 2 \cdot e^{2x}}{x^{\cancel 4}} \\ \, \\ \underline{\underline{g\prime(x) = \frac{2(e^{2x} - xe^{2x})}{x^3}[/tex]
c.I)
[tex]\int_1^{3} 8x^3 \text{dx} = \left[8\cdot \frac 14 x^4\right]_{1}^{3} = \left[2x^4]_1^3 = \left(2\cdot (3)^4\right) - \left(2\cdot (1)^4 \right) = \underline{\underline{160}}[/tex]
c.II)
[tex]\text{Finn t i likningen: }\int_1^t9x^2\text{dx} = 78[/tex]
[tex]P(\geq 16) = 1 - \sum_{k=0}^{15} { {20} \choose {k} } \cdot (0.75)^k \cdot (1-0.75)^{20-k} \approx \underline{\underline{41.48\percent}}[/tex]
* Kort forklaring av uttrykket:
[tex]\Sigma[/tex] betyr sum. Vi summerer altså sannsynligheten fra 0 frø spirer til 15 frø spirer
Minst 16 frø spirer, er den komplementære sannsynligheten (den motsatte) for at 0,1,2 ... 15 frø spirer. Derfor blir uttrykket 1-summen av sannsynlighetene
e.I)
Undersøk om vektorene [tex]\vec u = 2\vec a + 3\vec b\, og\, \vec v = 3\vec a + 2\vec b[/tex] er parallelle.
Undersøk om det finnes tall, t, slik at vektorene [tex]\vec v \, \parallel\, \vec v[/tex]
[tex]\vec u = (t+1)\vec a + 2\vec b\,\,\, og\,\,\, \vec v = -5\vec a -(t-2)\vec b[/tex]
[tex]\text{Utregning:} \\ \, \\ \frac{(t+1)}{-5} = \frac{2}{(2-t)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, notis:\, -(t-2) \Leftrightarrow (2-t) \\ \, \\ (t+1)(2-t) = 2\cdot (-5) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryssmultiplikasjon \\ \, \\ -t^2 + t +12 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{t_1 = -3} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t_2 = 4}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Ja, \vec u \parallel \vec v for t =\{-3,4\}}[/tex]
f)
f.I)
Gunnar er psykisk utviklingshemmet og sparer på navlelo. Helt siden da han var en liten gutt, har han vært helt besatt av alt som har med navlelo å gjøre, inkludert bokstavene i ordet! Gunnar legger 7 lapper, hver med bokstavene N, A, V, L, E, L, O i en veske han har vevet av navlelo. Han trekker en lapp, og deretter en til, helt til vesken er tom for lapper. Hvor mange måter kan Gunnar trekke lappene på, når rekkefølgen teller.
[tex]7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \underline{5040}\\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{\text{Gunnar kan trekke lappene p\aa 5040 m\aa ter}}}[/tex]
f.II)
Gunnar har akkurat hatt bursdag. Den fineste presangen han fikk, var et glassmontér, hvor han kunne putte de fineste navlelodottene han har til allmenn beskuelse. Problemet er bare at Gunnar har 8 favoritt-dotter, og det er kun plass til 3 av gangen i glassetuiet. Gunnar tenker at han får bytte én dott hver uke, slik at alle navlelodottene hans får eksponert seg.
Hvor lang tid tar det, før alle navlelodottene har vært i montéret? Rekkefølgen er ubetydelig.
[tex]{ {8} \choose {3} } = \frac{8\cdot 7 \cdot \cancel 6}{\cancel{3 \cdot 2} \cdot 1} = \underline{56}[/tex]
Gunnar vil bruke ett år og 1 mnd før alle dottene er eksponert. Da har han allerede hatt bursdag igjen, og kanskje fått et montér til.
Oppgave 4
a)
[tex]A(3) = 3 - 1 - ln(3) \approx \underline{0.901} \,\,\,\, |\cdot 100\, enheter\\ \, \\ \underline{\underline{\text{Den tredje dagen, var salget omlag 90 enheter.}}}[/tex]
b)
[tex]A(x) = x-1 - lnx \\ \, \\ A\prime(x) = (x)\prime - (1)\prime - (lnx)\prime \\ \, \\ A\prime(x) = 1 - 0 \frac{1}{x} \\ \, \\ \underline{\underline{A\prime(x) = 1-\frac 1x}}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Grafen til A\prime(x) stiger med tiden i hele intervallet. \\Det blir stadig flere salg per dag, og kampanjen er en braksuksess!}}}[/tex]
c)
[tex]f(x) = \frac 12 x^2 - x \cdot lnx \\ \, \\ f\prime(x) = \frac 12 \cdot (x^2)\prime \left((x)\prime \cdot lnx) + (x \cdot (lnx)\prime\right) \\ \, \\ f\prime(x) = x - \left(lnx + \cancel x \frac {1}{\cancel x}\right) \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = x- lnx -1}}[/tex]
[tex]\text{Observasjon: }f\prime(x) \text{ er den antideriverte til }A(x)[/tex]
d)
[tex]\int_1^{11}A(x)\text{dx} = \left[ \frac 12 x^2 - x \cdot ln x\right]_1^{11} = \left(\frac 12 \cdot (11)^2 - 11\cdot ln(11)\right) - \left(\frac 12 \cdot (1)^2 - 1 - ln (1)\right) = 47.102 - (-0.5) =\underline{47.602}[/tex]
[tex]47.602 \cdot 100 \approx \underline{4760}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Fra dag 1 til 11, var totalt salg tiln\ae rmet 4760 enheter.}}}[/tex]
Oppgave 5
a)
b)
Vektorkoordinatene til [tex]\vec a = [2,-3][/tex] fordi den går "to trinn" til høyre på x-skalaen, og samtidig -3 trinn på y-skalaen. På tegningen har jeg dekomponert [tex] \vec a[/tex] med retningsvektorene [tex]\vec{e_x}[/tex] og [tex]\vec{e_y}[/tex]
[tex]\vec b = [-1, -5][/tex]
c)
[tex]\vec a \cdot (\vec a - \vec b) = \\ \, \\ [2,-3] \cdot \left([2,-3] - [-1,-5]\right) = \\ \, \\ [2, -3] \cdot \left([2+1, -3 + 5]\right) = \\ \, \\ [2,-3]\cdot [3, 2] = \\ \, \\ 6 - 6 = \underline{0} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{\vec a\perp \left(\vec a - \vec b\right)\,\, \, \text{fordi skalarproduktet } = 0}}[/tex]
d)
[tex][x-2, y-5] \, \parallel \, [2,-3]t \\ \, \\ \, \\ l:\left\{ \text{x=2t+2\\y=5-3t} \right[/tex]
[tex]\text{for x-aksen} \\ \, \\ 0 = 2t+2 \\ \, \\ -2t = 2 \\ \, \underline{t=-1} \\ \, \\ \, \\ \text{setter inn i y} \\ \, \\ y = 5-3\cdot(-1) = 8\\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \text{for y-aksen} \\ \, \\ 0=5-3t \\ \, \\ 3t = 5 \\ \, \\ \underline{t= \frac 53} \\ \, \\ \text{setter inn i x} \\ \, \\ x = \frac 63 + \frac 53 = \frac{11}{3}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{l krysser x-aksen i punktet }(0,8)\text{ og y-aksen i punktet }{(\frac{11}{3}, 0)}}[/tex]
e)
[tex]l\, \parallel \, [2t,-3t] \\ \, \\ \text{setter t=1, og finner to punkter} \\ \, \\ \text{punkt 1: } (4,2)\\ \, \\ \text{punkt 2: } (2,-3) \\ \, \\ \text{retningsvektor for m: } [4-2, 2-(-3)] = \underline{[2, 5]}[/tex]
[tex][x-3, y-2] = [2,5]s \\ \, \\ m:\left\{ \text{x=2s+3\\y=5s+2} \right[/tex]
[tex]\text{l og m skj}\ae \text{rer hverandre i punktet:} \\ \, \\ \, \\ 2t+2 = 2s+3 \,\,\, \wedge \,\,\, 5-3t = 5s+2 \\ \, \\ t = \frac{2s+1}{2} \,\,\, \rightarrow \,\,\, 5s = 3-3(\frac{2s+1}{2}) \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = 3-\left(\frac{6s+3}{2}\right) \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 10s = 6 -6s -3\\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 16s = 3\\ \, \\ t = \frac{2\cdot \frac{3}{16} + \frac{16}{16}}{2}\,\,\, \leftarrow \,\,\, \underline{s=\frac{3}{16}} \\ \, \\ \, \\\underline{t=\frac{11}{16}[/tex]
Finner koordinatene med parameterfremstillingen for l:
[tex]x\Rightarrow 2t+2 \Rightarrow 2\cdot \frac{11}{16} + \frac{32}{16} \Rightarrow \frac{54}{16} = \underline{3.375} \\ \, \\ y \Rightarrow 5-3t \Rightarrow \frac{80}{16} - 3\cdot \frac{11}{16} \Rightarrow \frac{47}{16} = \underline{2.9375}[/tex]
Setter prøve på svaret med parameterfremstillingen for m:
[tex]x\Rightarrow 2s+3 \Rightarrow 2\cdot \frac{3}{16} + \frac{43}{16} \Rightarrow \frac{54}{16} = \underline{3.375} \\ \, \\ y\Rightarrow 5s + 2 \Rightarrow 5\cdot \frac{3}{16} + \frac{32}{16} \Rightarrow \frac{47}{16} =\underline{2.9375}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{linjene l og m skj}\ae\text{rer hverandre i punktet (3.375, 2.9375)}}}[/tex]
f)
Hvis linjen n danner en [tex]45\textdegree[/tex] med x-aksen, så er retningsvektoren for linjen n gitt ved [tex][1,1][/tex]
[tex][x-1, y-2] = [1,1]k \\ \, \\ \, \\ n: \left\{ \text{x=1+k\\y=2+k} \right[/tex]
[tex]2t+2=1+k \,\,\, \wedge \,\,\, 5-3t = 2+k \\ \, \\ t=\frac{k-1}{2} \,\,\, \rightarrow \,\,\, 5-3\left(\frac{k-1}{2}\right) = 2+k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5-\left(\frac{3k-3}{2}\right) = 2+k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 10 + 3 - 3k = 4 + 2k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -5k = -9 \\ \, \\ t = \frac{\frac 95 -1}{2} \,\,\, \leftarrow \,\,\, \underline{k=\frac 95} \\ \, \\ \underline{t=\frac 25}[/tex]
Finner koordinatene med parameterfremstillingen for linjen l
[tex]x \Rightarrow 2t+2 \Rightarrow 2\cdot \frac 25 + 2 \Rightarrow \frac {4}{5} + \frac{10}{5} \Rightarrow \frac{14}{5} = \underline{2.8} \\ \, \\ y \Rightarrow 5-3t \Rightarrow 5-3\cdot \frac 25 \Rightarrow \frac{25}{5} - \frac {6}{5} \Rightarrow \frac{19}{5} = \underline{3.8}[/tex]
Setter prøve med parameterfremstillingen for linjen n:
[tex]x\Rightarrow 1 + k \Rightarrow \frac 55 + \frac 95 \Rightarrow \frac {14}{5} =\underline{2.8} \\ \, \\ y \Rightarrow 2 + k \Rightarrow \frac{10}{5} + \frac 95 \Rightarrow \frac{19}{5} = \underline{3.8}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{linjene l og n skj}\ae\text{rer hverandre i punktet (2.8, 3.8)}}}[/tex]
Da var eksamen overstått, og her har jeg skannet oppgavesettet. Jeg tar kun med bokmålsversjonen, så til de hardbarkede Ivar Aasen fans; beklager.
Her er oppgaven:
http://www.filedump.net/dumped/2mx20080828privatister1211994506.pdf
linken fungerer igjen
De av dere som vil, er velkommen til å gjøre noen oppgaver. Jeg skal gjøre endel på den senere jeg også, men jeg fikk dessverre ikke sove i natt, så du kan si jeg var rimelig zombie under eksamen.
Jeg slet spesielt på oppgave 2, som er en sannsynlighetsoppgave. Jeg synes det var vanskelig å definere hva de spurte etter der, men ga et svar, og begrunnet det iherdig, hehe.
Her er løsningen på noen oppgaver (fylles på etterhvert)
Oppgave 1
a.1.I)
[tex]3^x = 27 \\ \, \\ x ln3 = ln 27 \\ \, \\ x = \frac{ln 27}{ln 3} \\ \, \\ \underline{\underline{x = 3}}[/tex]
a.1.II)
[tex]10^{x^2} = 10^x \\ \, \\ log(10^{x^2}) = log(10^x) \\ \, \\ x^2 = x \\ \, \\ x(x - 1) = 0 \\ \, \\ \underline{\underline{x=0}} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{\underline{x = 1}}[/tex]
Takk til elina for oppklaringen
a.2.I)
[tex]\sqrt{x+3} = 2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kvadrerer \\ \, \\ x+3 = 2^2 \\ \, \\ \underline{\underline{x=1}}[/tex]
* Setter ikke prøve, jeg ser at svaret er riktig. - OBS: Husk å sette prøver på alle likninger hvor du kvadrerer.
a.2.II)
[tex]\sqrt{3x+7} - x = 1 \\ \, \\ \left(\sqrt{3x+7}\right)^2 = (1+x)^2 \\ \, \\ 3x + 7 = x^2 +2x +1 \\ \, \\ x^2 -x - 6 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{x_1 = 3 } \,\,\, \vee \,\,\, \underline{x_2 = -2} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \text{Sjekker for x_1} \\ \, \\ \sqrt{3\cdot 3 + 7} - 3 = \sqrt{16} -4 = \underline{1} \\ \, \\ \text{Sjekker for x_2} \\ \, \\ \sqrt{3\cdot (-2) + 7} - (-2) = 1 + 2 \not = 1 \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{x = 3}}[/tex]
b.1.I)
[tex]f(x) = 2x^3 - 5x^2 \\ \, \\ f\prime(x) = 2\cdot (x^3)\prime - 5\cdot (x^2)\prime \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = 6x^2 - 10x}}[/tex]
b.1.II)
[tex]f(x) = x\cdot lnx \\ \, \\ f\prime(x) = (x)\prime \cdot lnx + x \cdot (lnx)\prime \Rightarrow ln x + \cancel x \frac {1}{\cancel x} \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = ln x +1}}[/tex]
b.2.I)
[tex]g(x) = 5e^{2x} \\ \, \\ g\prime(x) = 5\cdot (e^{2x})\prime \Rightarrow 5 \cdot 2 \cdot e^{2x} \\ \, \\ \underline{\underline{10e^{2x}}}[/tex]
b.2.II)
[tex]g(x) = \frac{e^{2x}}{x^2} \\ \, \\ g\prime(x) = \frac{\left((x^2)\prime \cdot e^{2x} \right) - \left(x^2 \cdot (e^{2x})\right)}{x^{2\cdot 2}} \Rightarrow \frac{2\cancel x \cdot e^{2x} - x^{\cancel 2} \cdot 2 \cdot e^{2x}}{x^{\cancel 4}} \\ \, \\ \underline{\underline{g\prime(x) = \frac{2(e^{2x} - xe^{2x})}{x^3}[/tex]
c.I)
[tex]\int_1^{3} 8x^3 \text{dx} = \left[8\cdot \frac 14 x^4\right]_{1}^{3} = \left[2x^4]_1^3 = \left(2\cdot (3)^4\right) - \left(2\cdot (1)^4 \right) = \underline{\underline{160}}[/tex]
c.II)
[tex]\text{Finn t i likningen: }\int_1^t9x^2\text{dx} = 78[/tex]
d.I)espen180 skrev:[tex]\int_1^t 9x^2=78 \\ \int 9x^2 \rm{d}x=F(x)=3x^3(+C) \\ F(t)-F(1)=78 \\ F(t)=78+F(1) \\ 3t^3=81 \\ t^3=27 \\ \underline{\underline{t=3}}[/tex]
d.II)espen180 skrev: [tex]P(16)={20\choose16}0.75^16\cdot0.25^4=0.189685[/tex]
[tex]P(\geq 16) = 1 - \sum_{k=0}^{15} { {20} \choose {k} } \cdot (0.75)^k \cdot (1-0.75)^{20-k} \approx \underline{\underline{41.48\percent}}[/tex]
* Kort forklaring av uttrykket:
[tex]\Sigma[/tex] betyr sum. Vi summerer altså sannsynligheten fra 0 frø spirer til 15 frø spirer
Minst 16 frø spirer, er den komplementære sannsynligheten (den motsatte) for at 0,1,2 ... 15 frø spirer. Derfor blir uttrykket 1-summen av sannsynlighetene
e.I)
Undersøk om vektorene [tex]\vec u = 2\vec a + 3\vec b\, og\, \vec v = 3\vec a + 2\vec b[/tex] er parallelle.
e.II)ahpadt skrev:[tex] \frac 23 \neq \frac 32[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{De er ikke parallelle}}[/tex]
Undersøk om det finnes tall, t, slik at vektorene [tex]\vec v \, \parallel\, \vec v[/tex]
[tex]\vec u = (t+1)\vec a + 2\vec b\,\,\, og\,\,\, \vec v = -5\vec a -(t-2)\vec b[/tex]
[tex]\text{Utregning:} \\ \, \\ \frac{(t+1)}{-5} = \frac{2}{(2-t)} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, notis:\, -(t-2) \Leftrightarrow (2-t) \\ \, \\ (t+1)(2-t) = 2\cdot (-5) \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, kryssmultiplikasjon \\ \, \\ -t^2 + t +12 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, abc-formel \\ \, \\ \underline{t_1 = -3} \,\,\, \vee \,\,\, \underline{t_2 = 4}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Ja, \vec u \parallel \vec v for t =\{-3,4\}}[/tex]
f)
f.I)
Gunnar er psykisk utviklingshemmet og sparer på navlelo. Helt siden da han var en liten gutt, har han vært helt besatt av alt som har med navlelo å gjøre, inkludert bokstavene i ordet! Gunnar legger 7 lapper, hver med bokstavene N, A, V, L, E, L, O i en veske han har vevet av navlelo. Han trekker en lapp, og deretter en til, helt til vesken er tom for lapper. Hvor mange måter kan Gunnar trekke lappene på, når rekkefølgen teller.
[tex]7! = 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \underline{5040}\\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{\text{Gunnar kan trekke lappene p\aa 5040 m\aa ter}}}[/tex]
f.II)
Gunnar har akkurat hatt bursdag. Den fineste presangen han fikk, var et glassmontér, hvor han kunne putte de fineste navlelodottene han har til allmenn beskuelse. Problemet er bare at Gunnar har 8 favoritt-dotter, og det er kun plass til 3 av gangen i glassetuiet. Gunnar tenker at han får bytte én dott hver uke, slik at alle navlelodottene hans får eksponert seg.
Hvor lang tid tar det, før alle navlelodottene har vært i montéret? Rekkefølgen er ubetydelig.
[tex]{ {8} \choose {3} } = \frac{8\cdot 7 \cdot \cancel 6}{\cancel{3 \cdot 2} \cdot 1} = \underline{56}[/tex]
Gunnar vil bruke ett år og 1 mnd før alle dottene er eksponert. Da har han allerede hatt bursdag igjen, og kanskje fått et montér til.
Oppgave 4
a)
[tex]A(3) = 3 - 1 - ln(3) \approx \underline{0.901} \,\,\,\, |\cdot 100\, enheter\\ \, \\ \underline{\underline{\text{Den tredje dagen, var salget omlag 90 enheter.}}}[/tex]
b)
[tex]A(x) = x-1 - lnx \\ \, \\ A\prime(x) = (x)\prime - (1)\prime - (lnx)\prime \\ \, \\ A\prime(x) = 1 - 0 \frac{1}{x} \\ \, \\ \underline{\underline{A\prime(x) = 1-\frac 1x}}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Grafen til A\prime(x) stiger med tiden i hele intervallet. \\Det blir stadig flere salg per dag, og kampanjen er en braksuksess!}}}[/tex]
c)
[tex]f(x) = \frac 12 x^2 - x \cdot lnx \\ \, \\ f\prime(x) = \frac 12 \cdot (x^2)\prime \left((x)\prime \cdot lnx) + (x \cdot (lnx)\prime\right) \\ \, \\ f\prime(x) = x - \left(lnx + \cancel x \frac {1}{\cancel x}\right) \\ \, \\ \underline{\underline{f\prime(x) = x- lnx -1}}[/tex]
[tex]\text{Observasjon: }f\prime(x) \text{ er den antideriverte til }A(x)[/tex]
d)
[tex]\int_1^{11}A(x)\text{dx} = \left[ \frac 12 x^2 - x \cdot ln x\right]_1^{11} = \left(\frac 12 \cdot (11)^2 - 11\cdot ln(11)\right) - \left(\frac 12 \cdot (1)^2 - 1 - ln (1)\right) = 47.102 - (-0.5) =\underline{47.602}[/tex]
[tex]47.602 \cdot 100 \approx \underline{4760}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{Fra dag 1 til 11, var totalt salg tiln\ae rmet 4760 enheter.}}}[/tex]
Oppgave 5
a)
b)
Vektorkoordinatene til [tex]\vec a = [2,-3][/tex] fordi den går "to trinn" til høyre på x-skalaen, og samtidig -3 trinn på y-skalaen. På tegningen har jeg dekomponert [tex] \vec a[/tex] med retningsvektorene [tex]\vec{e_x}[/tex] og [tex]\vec{e_y}[/tex]
[tex]\vec b = [-1, -5][/tex]
c)
[tex]\vec a \cdot (\vec a - \vec b) = \\ \, \\ [2,-3] \cdot \left([2,-3] - [-1,-5]\right) = \\ \, \\ [2, -3] \cdot \left([2+1, -3 + 5]\right) = \\ \, \\ [2,-3]\cdot [3, 2] = \\ \, \\ 6 - 6 = \underline{0} \\ \, \\ \, \\ \, \\ \underline{\underline{\vec a\perp \left(\vec a - \vec b\right)\,\, \, \text{fordi skalarproduktet } = 0}}[/tex]
d)
[tex][x-2, y-5] \, \parallel \, [2,-3]t \\ \, \\ \, \\ l:\left\{ \text{x=2t+2\\y=5-3t} \right[/tex]
[tex]\text{for x-aksen} \\ \, \\ 0 = 2t+2 \\ \, \\ -2t = 2 \\ \, \underline{t=-1} \\ \, \\ \, \\ \text{setter inn i y} \\ \, \\ y = 5-3\cdot(-1) = 8\\ \, \\ \, \\ \, \\ \, \\ \text{for y-aksen} \\ \, \\ 0=5-3t \\ \, \\ 3t = 5 \\ \, \\ \underline{t= \frac 53} \\ \, \\ \text{setter inn i x} \\ \, \\ x = \frac 63 + \frac 53 = \frac{11}{3}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{l krysser x-aksen i punktet }(0,8)\text{ og y-aksen i punktet }{(\frac{11}{3}, 0)}}[/tex]
e)
[tex]l\, \parallel \, [2t,-3t] \\ \, \\ \text{setter t=1, og finner to punkter} \\ \, \\ \text{punkt 1: } (4,2)\\ \, \\ \text{punkt 2: } (2,-3) \\ \, \\ \text{retningsvektor for m: } [4-2, 2-(-3)] = \underline{[2, 5]}[/tex]
[tex][x-3, y-2] = [2,5]s \\ \, \\ m:\left\{ \text{x=2s+3\\y=5s+2} \right[/tex]
[tex]\text{l og m skj}\ae \text{rer hverandre i punktet:} \\ \, \\ \, \\ 2t+2 = 2s+3 \,\,\, \wedge \,\,\, 5-3t = 5s+2 \\ \, \\ t = \frac{2s+1}{2} \,\,\, \rightarrow \,\,\, 5s = 3-3(\frac{2s+1}{2}) \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5s = 3-\left(\frac{6s+3}{2}\right) \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 10s = 6 -6s -3\\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 16s = 3\\ \, \\ t = \frac{2\cdot \frac{3}{16} + \frac{16}{16}}{2}\,\,\, \leftarrow \,\,\, \underline{s=\frac{3}{16}} \\ \, \\ \, \\\underline{t=\frac{11}{16}[/tex]
Finner koordinatene med parameterfremstillingen for l:
[tex]x\Rightarrow 2t+2 \Rightarrow 2\cdot \frac{11}{16} + \frac{32}{16} \Rightarrow \frac{54}{16} = \underline{3.375} \\ \, \\ y \Rightarrow 5-3t \Rightarrow \frac{80}{16} - 3\cdot \frac{11}{16} \Rightarrow \frac{47}{16} = \underline{2.9375}[/tex]
Setter prøve på svaret med parameterfremstillingen for m:
[tex]x\Rightarrow 2s+3 \Rightarrow 2\cdot \frac{3}{16} + \frac{43}{16} \Rightarrow \frac{54}{16} = \underline{3.375} \\ \, \\ y\Rightarrow 5s + 2 \Rightarrow 5\cdot \frac{3}{16} + \frac{32}{16} \Rightarrow \frac{47}{16} =\underline{2.9375}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{linjene l og m skj}\ae\text{rer hverandre i punktet (3.375, 2.9375)}}}[/tex]
f)
Hvis linjen n danner en [tex]45\textdegree[/tex] med x-aksen, så er retningsvektoren for linjen n gitt ved [tex][1,1][/tex]
[tex][x-1, y-2] = [1,1]k \\ \, \\ \, \\ n: \left\{ \text{x=1+k\\y=2+k} \right[/tex]
[tex]2t+2=1+k \,\,\, \wedge \,\,\, 5-3t = 2+k \\ \, \\ t=\frac{k-1}{2} \,\,\, \rightarrow \,\,\, 5-3\left(\frac{k-1}{2}\right) = 2+k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 5-\left(\frac{3k-3}{2}\right) = 2+k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, 10 + 3 - 3k = 4 + 2k \\ \, \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, -5k = -9 \\ \, \\ t = \frac{\frac 95 -1}{2} \,\,\, \leftarrow \,\,\, \underline{k=\frac 95} \\ \, \\ \underline{t=\frac 25}[/tex]
Finner koordinatene med parameterfremstillingen for linjen l
[tex]x \Rightarrow 2t+2 \Rightarrow 2\cdot \frac 25 + 2 \Rightarrow \frac {4}{5} + \frac{10}{5} \Rightarrow \frac{14}{5} = \underline{2.8} \\ \, \\ y \Rightarrow 5-3t \Rightarrow 5-3\cdot \frac 25 \Rightarrow \frac{25}{5} - \frac {6}{5} \Rightarrow \frac{19}{5} = \underline{3.8}[/tex]
Setter prøve med parameterfremstillingen for linjen n:
[tex]x\Rightarrow 1 + k \Rightarrow \frac 55 + \frac 95 \Rightarrow \frac {14}{5} =\underline{2.8} \\ \, \\ y \Rightarrow 2 + k \Rightarrow \frac{10}{5} + \frac 95 \Rightarrow \frac{19}{5} = \underline{3.8}[/tex]
[tex]\underline{\underline{\text{linjene l og n skj}\ae\text{rer hverandre i punktet (2.8, 3.8)}}}[/tex]
