matematikk.net

Hei, hei.

Vi har at [tex]I: \frac{dx}{dy}uv=u`v+uv`[/tex].

Vi har også at [tex]u/v=u \cdot \frac{1}{v}[/tex]

Bør det ikke da gå an å komme fram til kvotientregelen ([tex]\frac{dx}{dy}\frac{u}{v}=\frac{u`v-uv`}{v^2}[/tex]) ved hjelp av produktregelen (I) ved å sette [tex]v=\frac{1}{p}[/tex]?

Altså:
[tex]\frac{dx}{dy}\frac{u}{p}=\frac{dx}{dy}u\cdot\frac{1}{p}=\frac{1}{p}-\frac{u}{p^2}[/tex]

Men dette er ikke kvotientregelen. Har jeg tenkt feil eller regnet feil? (logisk sett må jeg ha gjort en av delene)

Jeg ville brukt innsetning:

[tex]y=\frac{a}{b} \rightarrow a=y \cdot b \\ a^{\small{\prime}}=y^{\small{\prime}} \cdot b+y \cdot b^{\small{\prime}}[/tex]

Dermed er [tex]y^{\small{\prime}}[/tex]:

[tex]y^{\small{\prime}}=\frac{a^{\small{\prime}}-y \cdot b^{\small{\prime}}}{b}[/tex]

Du kan så sette inn for y:

[tex]y^{\small{\prime}}=\frac{a^{\small{\prime}}-(\frac{a}{b}) \cdot b^{\small{\prime}}}{b} = \frac{a^{\small{\prime}} \cdot b - a \cdot b^{\small{\prime}}}{b^2}[/tex]

Er ikke helt bekvem med den notasojnen din her, Fredrik. dx/dy?

Det stemmer at man har hvis u(x) og v(x) at

[tex]\frac{d}{dx}(u\cdot v) = u^\prime\cdot v + u\cdot v^\prime[/tex]

Likeledes har du hvis man har 1/v.

[tex]\frac{d}{dx}(u\cdot v^{-1}) = u^\prime\cdot v^{-1} - \frac{u}{v^2}\cdot v^\prime (\text{Kjerneregelen}) [/tex]

Ganger man oppe og nede med v på første leddet:

[tex]\frac{u^\prime\cdot v - u\cdot v^\prime}{v^2}[/tex]

Hvilket skulle vises.

Er ikke helt bekvem med den notasojnen din her, Fredrik. dx/dy?

Lite erfaring med den notasjonen. Men takk for opplysningen, da forstår jeg den bedre.

Så kjerneregelen er svaret her. Da var det jeg som både hadde tenkt feil og regnet litt feil.

Tenkte visstnok at man ikke trengte å bruke den her liksom, men jo, jo, jo. Forstår, forstår.