Likning m. omgjøring fra tan til sin/cos

[Teds]

Hei!

Lurer litt på denne oppgava. Kommet godt på vei, men lukter noe muffens som jeg ikke får til å stemme.

v[0 , 360]

tan[sup]2[/sup]v - 4sin[sup]2[/sup]v = 0
sin[sup]2[/sup]v/cos[sup]2[/sup]v - (4sin[sup]2[/sup] * cos[sup]2[/sup]v)/cos[sup]2[/sup]v = 0

Samler alt på en brøk;
sin[sup]2[/sup]v - (4sin[sup]2[/sup]v * cos[sup]2[/sup]v)/cos[sup]2[/sup]v

Men hva nå?

[Mayhassen]

Hva går egentlig oppgaven ut på, skal du ha alle løsninger for vinkelen v?

[Teds]

v [0 , 360]

[Olorin]

husk at [tex]\sin^2v+cos^2v=1[/tex]

[tex]cos^2v=1-sin^2v[/tex]

[tex]sin^2v=1-cos^2v[/tex]

Jeg får rundt 7 løsninger på den da:P

[Teds]

Må ærlig innrømme jeg ikke får det til..

[Olorin]

Litt usikker selv om jeg løser den ekstremt tungvint da. men det ser ut til at jeg har fått rett svar.

hvis du skriver om [tex]\sin^2v=1-cos^2v[/tex] får du følgende uttrykk:

[tex]\frac{1-\cos^2v-4\left((1-cos^2v)\cdot cos^2v\right)}{\cos^2v}=0[/tex]

videre

[tex]1-5\cos^2v+4\cos^4v=0[/tex]

[tex]u=\cos^2v[/tex]

[tex]4u^2-5u+1[/tex]

[tex]u=\frac14 \ \vee \ u=1[/tex]

[tex]\cos^2v=\frac14 \ \vee \ cos^2v=1[/tex]

Til slutt:

[tex]\cos v=\pm\frac12 \ \vee \ \cos v=\pm 1[/tex]

Skal gi svar mellom [tex]v\in[0,360] \ \rightarrow \ v\in\{0,\,60,\,120,\,180,\,240,\,300,\,360\}[/tex]

[daofeishi]

Mitt forslag til omforming:

[tex]\tan^2(v) - 4\sin^2(v) = 0 \\ (\sec^2(v)-1) - 4(1-\cos^2(v)) = 0 \\ \sec^2(v) - 5 + 4\cos^2(v) = 0[/tex]

Multipliser på begge sider med [tex]\cos^2(v)[/tex]

[tex]1-5cos^2(v)+4\cos^2(v) = (4\cos^2(v)-1)(\cos^2(v)-1) = 0[/tex]

Som essensielt er løsningsmetoden til Olorin

Edit: Jeg har benyttet meg av den trigonometriske funksjonen sekant - sec(x), som er definert som 1/cos(x) - hvis du ikke kjente til denne fra før av)

[Charlatan]

Hvorfor ikke [tex]sin^2x(\frac{1}{cos^2x}-4)=0[/tex]
Så er det bare å finne ut når [tex]sinx=0[/tex] og når [tex]cosx=\frac12[/tex]

[Olorin]

Skulle funke fint den og, sparer litt bly på å bruke den omskrivningen

[daofeishi]

Ja, det er en mye bedre måte å gjøre det på Jarle, helt sant.