Vektorer

[géniex]

Trenger hjelp med en oppgave.

Du får følgende opplysninger:
P.S. Det skal stå en vektorpil på alle bokstavene.

|a| = 3

|b| = 4

(a,b) = 60 grader

p = 2a - 3b

q = a + 2b

Finn |p|, |q| og vinkelen mellom dem.

[ettam]

Bruker litt tex på opgaveteksten først:

Oppgave

[tex]|\vec a| = 3[/tex]

[tex]|\vec b| = 4[/tex]

[tex]\angle (a,b) = 60\textdegree[/tex]

[tex]\vec p = 2 \vec a - 3 \vec b[/tex]

[tex]\vec q = \vec a + 2 \vec b[/tex]

Finn [tex]|\vec p|[/tex], [tex]|\vec q|[/tex] og vinkelen mellom dem.

[ettam]

[tex]\vec a \cdot \vec a = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos \angle (\vec a, \vec a) = 3 \cdot 3 \cos 0\textdegree = 9[/tex]


[tex]\vec a \cdot \vec b = |\vec a| \cdot |\vec b| \cos \angle (\vec a, \vec b) = 3 \cdot 4 \cos 60\textdegree = 6[/tex]

[tex]\vec b \cdot \vec b = |\vec b| \cdot |\vec b| \cos \angle (\vec b, \vec b) = 4 \cdot 4 \cos 0\textdegree = 16[/tex]


[tex]|\vec p| = \sqrt{\vec p \cdot \vec p} = \sqrt{(2 \vec a - 3 \vec b)(2 \vec a - 3 \vec b)} = \sqrt{4 \vec a \vec a - 12 \vec a \cdot \vec b + 9 \vec b \cdot \vec b} = \sqrt{4\cdot9 -12\cdot6 + 9\cdot16} = \underline{\underline{2\sqrt{27}}} [/tex]

[tex]|\vec q| = \sqrt{\vec q \cdot \vec q} = \sqrt{(\vec a + 2 \vec b)(\vec a + 2 \vec b)} = \sqrt{\vec a \vec a + 4 \vec a \cdot \vec b + 4 \vec b \cdot \vec b} = \sqrt{1\cdot9 + 4\cdot6 + 4\cdot16} = \underline{\underline{\sqrt{97}}}[/tex]

______________________________________________________________________

[tex]\vec p \cdot \vec q = (2 \vec a - 3 \vec b)\cdot(\vec a + 2 \vec b) = 2\vec a \cdot \vec a + \vec a \cdot \vec b - 6 \vec b \cdot \vec b = 2 \cdot 9 + 1\cdot 6 - 6 \cdot 16 = -81[/tex]

______________________________________________________________________

Nå kan du finne vinkelen v.h.a. skalarproduktet:

[tex]\vec p \cdot \vec q = |\vec p| \cdot |\vec q| \cos \angle (\vec a,\vec b)[/tex]

[tex]\cos \angle (\vec a,\vec b) = \frac{\vec p \cdot \vec q}{|\vec p| \cdot |\vec q|} = \frac{-81}{2\sqrt{27} \cdot 97}[/tex]

[tex]\angle (\vec a,\vec b) \approx \underline{\underline{142,3\textdegree}}[/tex]

[Homer]

Du kan legge dem inn i et koordinatsystem. Legg feks den på lengde 4 langs x-aksen. Den blir da [4,0]. Kall den andre [a,b].
b/a skal da være tan 60, for å få riktig retning
rot (a^2+b^2) = 3^2 får å få rett lengde


Nå er det bare å finne a og b, da er vel resten rimelig greit

vektorer blir så mye greiere å ha med å gjøre når de er i et koordinatsystem^^

[ettam]

Det er vel ikke meningen at du skal gjøre det på denne måten...

Tatt fra læreplanen i R1:

Geometri
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
• regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinaform.
• beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer

[Homer]

Det er vel ikke meningen at du skal gjøre det på denne måten...

Tatt fra læreplanen i R1:

Geometri
Mål for opplæringen er at eleven skal kunne
• regne med vektorer i planet, både geometrisk som piler og analytisk på koordinaform.
• beregne og analysere lengder og vinkler til å avgjøre parallellitet og ortogonalitet ved å kombinere regneregler for vektorer

He he. Joda du har sikkert rett. Har egentlig ikke lært den pilregningen skikkelig selv. Har altid klart å sno meg unna med andre metoder.

[ettam]

Har altid klart å sno meg unna med andre metoder.

Da skal du vel egentlig ikke ha full uttelling når du gjør liknende oppgaver på din måte...

[Homer]

Jo da. Hadde det vært på eksamen hadde du det. Så lenge oppgaven ikke krever en spesifikk måte å gjøre det på, så er det egentlig samme hvordan man løser den. Men jeg skjønner poenget ditt, for det finnes jo oppgaver som sier spesiellt hvilken metode du skal bruke, og da er det greit å ha sett metodene boken anbefaler

[ettam]

Det er riktig det du sier om fremgamgsmåte, men dersom det var meningen at du skulle regne oppgaven på din måte ville nok oppgaven vært laget slik:

Oppgave

[tex]|\vec a| = 3[/tex]

[tex]|\vec b| = 4[/tex]

[tex]\angle (a,b) = 60\textdegree[/tex]

[tex]\vec p = [2,- 3][/tex]

[tex]\vec q =[1, 2][/tex]

Finn [tex]|\vec p|[/tex], [tex]|\vec q|[/tex] og vinkelen mellom dem.

Det var den ikke. Det sto ikke noe i den opprinnelige oppgaveteksten at [tex]\vec a = \vec e_1 = [1,0][/tex] og [tex]\vec b = \vec e_2 = [0,1][/tex], eller noen andre enhetsvektorer i et koordinatsystem.

[Homer]

Det er riktig det du sier om fremgamgsmåte, men dersom det var meningen at du skulle regne oppgaven på din måte ville nok oppgaven vært laget slik:

Oppgave

[tex]|\vec a| = 3[/tex]

[tex]|\vec b| = 4[/tex]

[tex]\angle (a,b) = 60\textdegree[/tex]

[tex]\vec p = [2,- 3][/tex]

[tex]\vec q =[1, 2][/tex]

Finn [tex]|\vec p|[/tex], [tex]|\vec q|[/tex] og vinkelen mellom dem.

Det var den ikke. Det sto ikke noe i den opprinnelige oppgaveteksten at [tex]\vec a = \vec e_1 = [1,0][/tex] og [tex]\vec b = \vec e_2 = [0,1][/tex], eller noen andre enhetsvektorer i et koordinatsystem.

Jo da. De vil sikkert at du skal gjøre det på den måten, men de kunne ikke trukket deg om du hadde gjort noe annet på eksamen slik oppgaven var formulert. Skjønner at de legger opp til at du skal gjøre det på din måte, men nå diskuterte vi vel om det hadde blitt trekk, og det hadde del vel ikke

[ettam]

... sender i pm i stede....

[mrcreosote]

Trekk? Syns det bør være bonuspoeng for å tenke smart og utover hva boka forteller, jeg. Det heter forståelse og er puggkunnskaper overlegent.

Hvis man bare argumenter for at vi ved hjelp av en forskyvning og rotasjon kan flytte a og b som det blir antyda, kan vi siden dette vil være en isometri uten tap av generalitet regne kun på dette tilfellet. Hvor er problemet?