matematikk.net

ka e jensens ulikhet? noken som veit det?

Du kan lese en del om den her:

http://en.wikipedia.org/wiki/Jensen's_inequality

Du fulgte rådet mitt ser jeg Det som står på den siden er nok litt mer gresk enn det vi egentlig trenger.

Du har en funksjon, og velger et intervall [a,b] (en del av grafen dens, fra x=a til x=b) hvor den er enten konveks eller konkav. Hvis funksjonen er konveks, vil en korde som forbinder to punkter på grafen (innenfor dette intervallet) alltid ligge over grafen. Den enkleste konsekvensen av Jensens ulikhet er da, for x,y element i [a,b]

(f(x)+f(y))/2>=f((x+y)/2)

I praksis detyr det at dersom du tegner en korde mellom to punkter på dette stykket av grafen, vil midtpunktet på denne ligge over funksjonsverdien for gjennomsnittet av x og y, altså det punktet som ligger rett under midtpunktet på korden. Tegn og prøv selv, det virker ganske opplagt når du ser det på papiret!

La oss si at grafen er konveks i intervallet [a,b]. Da vil gjennomsnittet av f(x)-ene for valgte x-verdier mellom a og b være større enn eller lik f(gjennomsnittet av x-ene). Er funksjonen konkav (altså korden ligger under grafen), snus ulikhetstegnet.

Et eksempel: A, B og C er vinklene i en trekant. Vis at

sin A + sin B + sin C <= (3*[rot][/rot]3)/2

Vi setter f(x)=sin x. Vi vet at i en trekant er ingen vinkel større enn 180 grader, og at grafen er konkav i intervallet [0,180].

Vi har altså:

(f(A)+f(B)+f(C))/3<=f((A+B+C)/3)

Vi vet at A+B+C=180, og har at

sin A + sin B + sin C<=3sin(180/3)=3sin 60=(3*[rot][/rot]3)/2



Et eksempel til:

a,b,c,d er positive tall. Hva er minimumsverdien av

(a+b+c)/d + (b+c+d)/a + (c+d+a)/b + (d+a+b)/c ?

Vi innfører her summen S=a+b+d+c, og skriver om:

(S-d)/d + (S-a)/a + (S-b)/b + (S-c)/c

Vi kan nå sette f(x)=(S-x)/x. Denne funksjonen er konveks i intervallet [0,S], og vi har derfor

(f(a)+f(b)+f(c)+f(d))/4>=f((a+b+c+d)/4)=f(S/4)

(f(a)+f(b)+f(c)+f(d))>=4f(S/4)=4*(S-S/4)/(S/4)=4*(3S/4)/(S/4)=12

Minimumsverdien av det oprinnelige uttrykket er dermed 12.

Det vanskeligste er ikke å bruke selve ulikheten, men å finne en passende funksjon. Det kan være vanskelig å skjønne dette når du ikke har hatt så mye om funksjoner, vendepunkter og derivasjon, men jeg kan forklare deg det i Oslo om ikke annet;)