matematikk.net

Vis at cos^2 v + sin^2 v = 1 for alle vinkler

Finn eksakt verdi for sin 330° og cos 510° og cos 15

pevik skrev:Vis at cos^2 v + sin^2 v = 1 for alle vinkler

Tegn en rettvinklet trekant med hypotenusen lik 1. Kall en av de to vinklene som ikke er [tex]90\textdegree \ v[/tex]. Da vil Den ene kateten ha lengden [tex]1 \cdot \cos v = \cos v[/tex] og den andre kateten har lengden [tex]1 \cdot \sin v = \sin v[/tex].

Da vil pytagoras gi deg: [tex]\cos^2 v + \sin^2 v = 1[/tex]

pevik skrev: Finn eksakt verdi for sin 330° og cos 510° og cos 15

Bruk enhetsirkelen til å se at:

[tex]\sin 330\textdegree = - \sin 30\textdegree = - \frac12 [/tex]

[tex]\cos 510\textdegree = \cos 150\textdegree = - \cos 30\textdegree = - \frac{\sqrt{3}}{2} [/tex]


Vet at [tex]1 + \cos 2u = 2 \cos^2 u[/tex] med [tex]u = 15\textdegree [/tex], får vi:

[tex]1 + \cos 30\textdegree = 2 \cos^2 15\textdegree[/tex]

[tex]2 \cos^2 15\textdegree = 1 + \cos 30\textdegree[/tex]

[tex]\cos^2 15\textdegree = \frac12 + \frac12 \cdot \cos 30\textdegree[/tex]

[tex]\cos 15\textdegree = \sqrt{\frac12 + \frac12 \cdot \cos 30\textdegree} = \sqrt{\frac12 + \frac12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac12 + \frac{\sqrt{3}}{4}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{4}} = \frac12 \sqrt{2 + \sqrt{3}}[/tex]

Hmmm...hva med å bruke

[tex]\cos(45^o-30^o)=\frac{\sqrt2}{2}\,\cdot\frac{\sqrt3}{2}\,+\,\frac{\sqrt2}{2}\,\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}=\cos(15^o)[/tex]

blir jo d samme altså