Hei!
Jeg har fått denne oppgaven: (x/a)[sup]2[/sup] + (y/b)[sup]2[/sup] =1 Påvis at arealet til en slik ellipse er gitt ved formelen [pi][/pi]ab
a og b er halvakser i ellipsen.
Mvh Lazy
Matematiske bevis
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Dersom man integrerer en funksjon y(x) over et intervall på x-aksen så får man arealet under grafen. Dette er noe av det første man lærer når man kommer borti integraler!
Altså:
omformerer uttrykket:
y(x) = b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])
Denne integreres fra x=-a til a (fordi da er y=0 og slutter å være definert)
altså:
A = 2[itgl][/itgl]b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])dx der x går fra -a til a
2-tallet skyldes at vi også må ta med tilsvarende areal på undersiden av x-aksen.
Nå gjenstår bare å integrere, som gjøres ved å slå opp i en tabell eller å substituerer x/a = sin(u)
Altså:
omformerer uttrykket:
y(x) = b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])
Denne integreres fra x=-a til a (fordi da er y=0 og slutter å være definert)
altså:
A = 2[itgl][/itgl]b[rot][/rot](1-(x/a)[sup]2[/sup])dx der x går fra -a til a
2-tallet skyldes at vi også må ta med tilsvarende areal på undersiden av x-aksen.
Nå gjenstår bare å integrere, som gjøres ved å slå opp i en tabell eller å substituerer x/a = sin(u)
Det er litt vanskelig for oss å vite hvilket nivå denne oppgaven er gitt på da, fint om dere skriver om det er 2.klasse-matematikk eller universitet f.eks.
En enkel måte å se det på er følgende betraktningsmåte. Den gjøres uten å integrere, men er heller ikke noe bevis (burde likevel være bra nok for videregående):
En ellipse med halvakser a og b er en sirkel med radius a som er skalert ("strekt" eller "krympet") med en faktor (b/a) i y-retning. Arealet blir derfor også skalert med samme faktor:
Areal = Areal av sirkel med radius a * (b/a) = [pi][/pi]*a[sup]2[/sup]*(b/a) = [pi][/pi]ab
En enkel måte å se det på er følgende betraktningsmåte. Den gjøres uten å integrere, men er heller ikke noe bevis (burde likevel være bra nok for videregående):
En ellipse med halvakser a og b er en sirkel med radius a som er skalert ("strekt" eller "krympet") med en faktor (b/a) i y-retning. Arealet blir derfor også skalert med samme faktor:
Areal = Areal av sirkel med radius a * (b/a) = [pi][/pi]*a[sup]2[/sup]*(b/a) = [pi][/pi]ab