Grenseverdier

[hot_dragon]

Er noen så gode at de greier å løse de to grenseverdi funksjonene her.

a) Bestem a slik at grenseverdien eksisterer
lim x^2 + 2x + 2 + a *delestrek
x->0 x^2 + 4x




b)
lim (1-2h/3)^1/h
h->0

[sEirik]

[tex]L = \lim_{x \rightarrow 0} \ \frac{x^2 + 2x + 2 + a}{x^2 + 4x}[/tex]

Vi ser at nevner går mot null. Det betyr at også teller må gå mot null, fordi vi da får et 0/0-uttrykk, ellers vil ikke grenseverdien eksistere.

Det betyr

[tex]\lim_{x \rightarrow 0} x^2+2x+2+a = 0[/tex]

Og vi kan sette inn:

[tex]0^2+2 \cdot 0 + 2 + a = 0[/tex]

[tex]2 + a = 0[/tex]

[tex]a = -2[/tex]

[Terminator]

b)
lim (1-2h/3)^1/h
h->0


Vi legger først merke til at 1 - 2h -> 1 dersom h -> 0 (betyr egentlig ingenting)

1/h -> "uendelig" når h -> derfor kan uttrykket skrives som

(1/3)^"uendelig" og noe som er opphøyd i uendelig må også gå mot uendelig. Enig?

altså f(x) -> "uendelig" når h -> 0

[Magnus]

[tex]L = \lim _{h\to 0} (1-\frac {2h}{3})^{\frac {1}{h}}[/tex]

[tex] ln L = \lim _{h\to 0} \frac {1-\frac {2h}{3}}{h}[/tex]

Ser her at telleren går mot 1, og nevneren mot 0. Følgelig må brøken gå mot uendelig, og du er ferdig.

Til terminator: Et hvert tall større enn 1 divergerer til uendelig, ja.

[Terminator]

Leste feil i oppgaven.


Men greit; avhenger det ikke i dette tilfellet fra hvilke side h -> 0, for

dersom den kommer fra h- vil den konvergere mot 0? og dersom den nærmer seg fra h+ vil den konvergere mot 0? Men av to ulike grunner?

Er det h-, vil vi få 1/"uendelig"

ved h+

a^"uendelig" hvor a<1?

[Karl_Erik]

Terminator: Vet ikke helt hva du mener, men se på, si, tangensfunksjonen. Tegn gjerne grafen på en kalkulator eller noe. Så finner du punktet [symbol:pi]/2. Hva skjer når x går mot [symbol:pi] /2? Det kommer an på om vi lar x nærme seg det fra 'venstresiden eller høyresiden'. Vokser x mot [symbol:pi] /2, går tangensfunksjonen mot + [symbol:uendelig] , men krymper den mot uendelig, går funksjonen mot - [symbol:uendelig]. Var det noe sånt du mente?

[Terminator]

ja! Og det jeg ville frem til at bege uttrykkene i den grenseverdien går mot 0, men på to ulike måter alt ettersom fra hvilke side h nærmer seg fra