Hvorfor er det slik at en endelig gruppe G som har nøyaktig en undergruppe H av en gitt orden er en normal undergruppe av G?
Algebra_gruppe
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
-
Gjest
løsningsskisse:
velg et element g i G som ikke er i H.
For hvert element h i H så lag et element ghg[sup]-1[/sup]
Så viser du at mengden av alle slike elementer danner en ny undergruppe av G (bruk definisjonen) og samtidig at den inneholder like mange elementer som H. Denne nye undergruppen må derfor være lik H (hvorfor?). Og av det følger at H er normal (se definisjon på normal undergruppe).
velg et element g i G som ikke er i H.
For hvert element h i H så lag et element ghg[sup]-1[/sup]
Så viser du at mengden av alle slike elementer danner en ny undergruppe av G (bruk definisjonen) og samtidig at den inneholder like mange elementer som H. Denne nye undergruppen må derfor være lik H (hvorfor?). Og av det følger at H er normal (se definisjon på normal undergruppe).
