Hello!!!
Hvordan gir man en generell løsning på følgende?:
Ta en vilkårlig trekant og konstruer ved hjelp av passer og linjal et kvadrat med samme areal som trekanten.
Ta en vilkårlig firkant, og konstruer et kvadrat med samme areal som firkanten.
Hm....... Nina
Trekanten og firkantens "kvadratur"
Moderators: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
2. spørsmål (for rektangler)
--------------------------------
La rektangelet ha sidelengder a og b.
Lag linjestykket AB der punktet H ligger mellom A og B slik at AH = a og HB = b.
La dette linjestykket være diameteren i en sirkel S. Lag en normal på AB gjennom H og la denne skjære sirkelen i K. Lengden av HK kaller vi h. Nå er vinkelen AVB 90 grader og videre er trekantene AHK og BKH formlike. Pga formlikhet har vi sammenhengen:
h/a = b/h
som gir
h[sup]2[/sup] = ab
Altså er h sidelengden i et kvadrat som har samme areal som et rektangel med lengder a og b.
1. spørsmål
-------------
La trekanten ABC har sidelengder c > b > a. (likhet kan selvsasgt også gjelde.) (etter vanlig konvensjon er siden med lengde a motstående til hjørnet A osv.)
Lag en parallell til AB gjennom C og lag to linjer som står normalt på AB i punktene A og B. Du har nå fått et rektangel med areal lik det dobbelte av trekanten. Halvver så rektangelet ved å halvere den ene siden. Dermed gjenstår å finne et kvadrat som har samme areal som dette rektangelet, noe som altså er beskrevet øverst i innlegget
For vilkårlige firkanter gjør du analogt med svaret over:
Del firkanten opp i to trekanter ved å velge den lengste diagonalen. Omslutt hver av trekantene med rektangler tilsvarende over slik at du får et stort rektangel med areal lik det dobbelte av den vilkårlige firkanten. Så finner du kvadratet med areal lik halvparten av rektangelet (ved først å halvvere rektangelet):
--------------------------------
La rektangelet ha sidelengder a og b.
Lag linjestykket AB der punktet H ligger mellom A og B slik at AH = a og HB = b.
La dette linjestykket være diameteren i en sirkel S. Lag en normal på AB gjennom H og la denne skjære sirkelen i K. Lengden av HK kaller vi h. Nå er vinkelen AVB 90 grader og videre er trekantene AHK og BKH formlike. Pga formlikhet har vi sammenhengen:
h/a = b/h
som gir
h[sup]2[/sup] = ab
Altså er h sidelengden i et kvadrat som har samme areal som et rektangel med lengder a og b.
1. spørsmål
-------------
La trekanten ABC har sidelengder c > b > a. (likhet kan selvsasgt også gjelde.) (etter vanlig konvensjon er siden med lengde a motstående til hjørnet A osv.)
Lag en parallell til AB gjennom C og lag to linjer som står normalt på AB i punktene A og B. Du har nå fått et rektangel med areal lik det dobbelte av trekanten. Halvver så rektangelet ved å halvere den ene siden. Dermed gjenstår å finne et kvadrat som har samme areal som dette rektangelet, noe som altså er beskrevet øverst i innlegget
For vilkårlige firkanter gjør du analogt med svaret over:
Del firkanten opp i to trekanter ved å velge den lengste diagonalen. Omslutt hver av trekantene med rektangler tilsvarende over slik at du får et stort rektangel med areal lik det dobbelte av den vilkårlige firkanten. Så finner du kvadratet med areal lik halvparten av rektangelet (ved først å halvvere rektangelet):
Last edited by dischler on 06/10-2004 19:04, edited 3 times in total.