Jeg skal gjøre rede for sammenhengen mellom:
- grenseverdien til forholdet mellom Fibonacci-tallene
og
- det gyldne snitt
Greier liksom ikke å formulere noe bra...
Forslag?
Mvh Eva
Det gyldne snitt
Moderatorer: Aleks855, Gustav, Nebuchadnezzar, Janhaa, DennisChristensen, Emilga
Kort sagt: Forholdet mellom to påfølgende Fibonacci-tall nærmer seg det gyldne snitt jo lengre ut i følgen du går.
Her kommer litt mer info hvis du er interessert:
Utregning av det gyldne snitt:
Hvis du har en lengde x (større enn 1) og en lengde 1, er x det gyldne forhold hvis:
x/(1+x) = 1/x
etter definisjonen (lengste side/summen av sidene) = (korteste siden/lengste siden)
Du får annengradslikningen:
x[sup]2[/sup] - x - 1 = 0 med èn løsning større enn 1:
x= (1 + [rot]5[/rot])/2
dette tallet er altså det gyldne snitt.
Fibonacci-tallene:
Fibonacci-tallene F[sub]1[/sub], F[sub]2[/sub], osv. er definert ved at de to første tallene er lik 1, deretter er hvert tall summen av de to foregående:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Faktisk går det an å finne en formel for det n'te Fibonacci-tallet:
F[sub]n[/sub]= [(1 + [rot][/rot]5)[sup]n[/sup] - (1 - [rot][/rot]5)[sup]n[/sup]]/(2[sup]n[/sup]*[rot][/rot]5)
Det enkleste beviset jeg har sett for denne formelen benytter seg av matriser, egenverdier og egenvektorer, ikke vanskelig hvis du vet hva det er. Går også an å vise ved å løse rekurrenslikningen F[sub]n[/sub]= F[sub]n-1[/sub] + F[sub]n-2[/sub]
Sammenhengen med det gyldne snitt
Hvis du vil kan du vise at F[sub]n+1[/sub]/F[sub]n[/sub] går mot det gyldne snitt ved å benytte formelen for F[sub]n[/sub] og la n gå mot uendelig.
Håper noe av dette var nyttig...
Her kommer litt mer info hvis du er interessert:
Utregning av det gyldne snitt:
Hvis du har en lengde x (større enn 1) og en lengde 1, er x det gyldne forhold hvis:
x/(1+x) = 1/x
etter definisjonen (lengste side/summen av sidene) = (korteste siden/lengste siden)
Du får annengradslikningen:
x[sup]2[/sup] - x - 1 = 0 med èn løsning større enn 1:
x= (1 + [rot]5[/rot])/2
dette tallet er altså det gyldne snitt.
Fibonacci-tallene:
Fibonacci-tallene F[sub]1[/sub], F[sub]2[/sub], osv. er definert ved at de to første tallene er lik 1, deretter er hvert tall summen av de to foregående:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
Faktisk går det an å finne en formel for det n'te Fibonacci-tallet:
F[sub]n[/sub]= [(1 + [rot][/rot]5)[sup]n[/sup] - (1 - [rot][/rot]5)[sup]n[/sup]]/(2[sup]n[/sup]*[rot][/rot]5)
Det enkleste beviset jeg har sett for denne formelen benytter seg av matriser, egenverdier og egenvektorer, ikke vanskelig hvis du vet hva det er. Går også an å vise ved å løse rekurrenslikningen F[sub]n[/sub]= F[sub]n-1[/sub] + F[sub]n-2[/sub]
Sammenhengen med det gyldne snitt
Hvis du vil kan du vise at F[sub]n+1[/sub]/F[sub]n[/sub] går mot det gyldne snitt ved å benytte formelen for F[sub]n[/sub] og la n gå mot uendelig.
Håper noe av dette var nyttig...