matematikk.net

Noen som kan derivere cosh[sup]-1[/sup]x ?

Går ut fra at du mener den inverse cosh-funksjonen her (som det vanligvis skal bety, ikke 1/cosh x).

Denne framgangsmåten for inverse funksjoner er generell:

y = cosh[sup]-1[/sup] x betyr at x = cosh y

Generelt triks:
y'(x) = dy/dx = 1/(dx/dy)

Her er dx/dy = x'(y) = sinh y, som gjør at vi får:

y' = 1/(sinh y)

Men vi vil gjerne uttrykke dette ved x, og det eneste vi vet er at x = cosh y. Bruker da formelen cosh[sup]2[/sup] t - sinh[sup]2[/sup] t = 1 som gir:

sinh y = [rot][/rot](cosh[sup]2[/sup] y - 1) = [rot][/rot](x[sup]2[/sup] - 1)

Setter dette inn i det vi fant over:

y' = (arcosh x)' = 1/[rot][/rot](x[sup]2[/sup] - 1)

(arcosh er bare et annet navn på invers cosh)

Takk for den!

Hva brukes hyperboolske funksjoner til?

sinh(x) = (e[sup]x[/sup] - e[sup]-x[/sup])/2
cosh(x) = (e[sup]x[/sup] + e[sup]-x[/sup])/2

I kompleks analyse spiller de omtrent samme rolle som de vanlige trigonometriske funksjonene.

De er likevel ikke noe annet enn en måte å skrive summen av to eksponensialfunksjoner slik du ser over
Men det er ofte en veldig nyttig skrivemåte.