matematikk.net

He!
Kan noen hjelpe meg med denne?

[symbol:integral] [symbol:rot] x * ln x

Man bruker delvis integrasjon

(2/3)*x^(3/2)*ln(x) - (4/9)*x^(3/2)

Ja, det står i fasiten, men hvordan fikk du dette?

Delvis integrasjon

Metoden bygger på derivasjonsregelen for et produkt som sier at

[tex](uv)` = u`v + uv`[/tex]

Vi får regelen [tex]\int u`vdx = uv - \int v`udx[/tex]

[tex]I = \int \sqrt x \cdot \ln x[/tex]

Vi vet at ved å derivere kvadratrotfaktoren vil vi sannsynligvis ikke få noe enklere integral. Ved å derivere logaritmefaktoren derimot, vil vi få 1/x, og da kan det være vi får et enklere integral. Derfor bruker vi delvis, og velger u' og v slik at logaritmefaktoren blir derivert.

[tex]u^\prime = sqrt x[/tex], [tex]v = \ln x {\rm d}x[/tex]

Går ut fra at du vet hvordan man integrerer kvadratrot, og hvordan man deriverer logaritmen.

[tex]u = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}[/tex], [tex]v^\prime = \frac{1}{x}[/tex]

[tex]I = uv - \int uv^\prime {\rm d}x = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \cdot \ln x - \int \frac{2}{3} sqrt x {\rm d}x[/tex]

Jupp, det integralet ble enklere! Går ut fra at du klarer å integrere det. Vi får

[tex]I = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \cdot \ln x - \frac{4}{9}x^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{9}x^{\frac{3}{2}} ( 3\ln x - 2)[/tex]

En fin oppgave videre for de interesserte kan være å ta knekken på denne typen integraler en gang for alle ved å regne ut [tex]I_\alpha=\int x^\alpha \ln x dx[/tex] for [tex]\alpha \neq -1[/tex].

Ja, jeg kan nesten ikke vente på å få vri nakken om det dumme integralet, hehe.

Nå som jeg først er i gang med latskapen. Kjører a i stedet for alfa, for det er enklere å skrive.

[tex]I_a = \int x^a \cdot \ln x {\rm d}x[/tex], [tex]a \not = -1[/tex]

[tex]u^\prime = x^a[/tex], [tex]v = \ln x[/tex]

[tex]u = \frac{1}{a+1}x^{a+1}[/tex], [tex]v^\prime = \frac{1}{x}[/tex]

[tex]I_a = \frac{1}{a+1}x^{a+1} \ln x - \int \frac{1}{a+1}x^a {\rm d}x = \frac{1}{a+1}x^{a+1} \ln x - \frac{1}{(a+1)^2}x^{a+1} + C[/tex]

DØØ, integral! Moahahha.

[tex]I_a = \frac{1}{a+1}x^{a+1} (\ln x - \frac{1}{a+1}) + C[/tex]

*skrive ned i regelbok*