Det varierer selvsagt ut ifra hvilken karakter det siktes etter. Om jeg prøver å se etter ståkarakter f.eks ser jeg etter det grunnleggende. Kan eleven det mest grunnleggene på tross av slurvefeil og en del manglende svar? Mest grunnleggende i R2 er kjennskap til vektorer, å kunne deriverere grunnleggende funksjoner, klare å regne ut helt enkle sannsynlighetsoppgaver, samt å kunne drøfte funksjoner. Dette med geometri og bevisføring er pittelitt vanskeligere. Med andre ord:
Kan eleven det mekaniske?
Med det mekaniske menes for eksempel ABC-formelen (andregradsformelen), polynomdivisjon, derivasjonsregler.
Det er liten selvstendig tanke og mye pugg, men en får i det minste dette til =)
Å se etter en toppkarakter er nok noe mer utfordrende. Her må eleven vise matematisk modenhet og evne til selvstendig tenking. Eleven må og kunne drøfte og vurdere sine egne svar, og ikke minst være selvkritisk. Dersom du skal regne på sannsynligheten for at det regner i morgen og kommer frem til at sannsynligheten er -0.5 eller 1.3 bør du være i stand til å se at dette er feil. Eller at du skal konstruere senter til en sirkel. Dersom du bommer med en del, bør du klare å se at du ikke faktisk fant senteret.
Det går og på å kunne benytte seg av og kombinere metoder en har lært for å løse oppgavetyper en ikke har sett før. For eksempel å løse nøtten på slutten av eksamen (merk ikke alltid at det gis en nøtt) kan trekke opp for feil under enklere oppgaver.
Noe som teller sterkt for min del er å gå forbi minimumskravet til hver oppgave. Gå forbi det mekaniske og komme frem til egne og alternative løsningsmetoder. For eksempel kan den siste derivasjonsoppgaven løses slik
$ \hspace{1cm}
\begin{align*}
h(x) & = \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{x + 1 - 2}{x + 1} = 1 - \frac{2}{x + 1} \\
h'(x) & = 0 + \frac{2}{(x+1)^2}
\end{align*}
$
For eksempel å bruke andre metoder enn ABC-formelen for å faktorisere et polynom: $x^2 + (5 - 1)*x - (5)*(-1) = (x + 5)(x-1)$. Det handler og om å kunne forstå ordlyden i oppgaven
at $x^3 - 7x^2 + 14x - k$ er delelig med $(x-2)$ hvis og bare hvis $k - 8$ betyr at en må vise følgende:
$x^3 - 7x^2 + 14x + k$ er delelig med $(x-2) \quad \Longrightarrow \quad k - 8 $ OG $\ \ x^3 - 7x + 14x + k$ er delelig med $(x-2) \quad \Longleftarrow \quad k - 8$
For å vise første setter en inn $x = 2$ og ser at $k + 8 = 0 \Rightarrow k = -8$ som ønsket. For å vise siste må en sette inn $k = 8$ og vise at dette medfører at $x - 2$ er en faktor.
$x^3 - 7x^2 + 14x - 8$ og igjen ved å sette $x = 2$ ser vi at det er en faktor. Poenget er ikke at dette er vanskelig å gjøre mekanisk, men at en må forstå at hvis og bare hvis må vises begge veier.
For å faktorisere polynomet kunne en ha brukt flere metoder utenom polynomdivisjon
$ \hspace{1cm}
x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = (x^3 - 2^3) - 7x^2 + 14x = (x-2)(x^2 + 2x +4) - 7x(x - 2) = (x-2)(x^2 - 5x + 4)
$
$ \hspace{1cm}
x^3 - 7x^2 + 14x - 8 = x^3 - 7x^2 + 10x + 4x - 8 = x(x^2 - 7x + 10) + 4(x -2) = x(x-2)(x-5) + 4(x-2) = (x-2)[x(x-5) + 3]
$
Husker selv når jeg tok 1T eksamen og skulle finne arealet av en vilkårlig trekant. Endte opp med et uttrykk på formen $\sin( \arccos( \text{noe} ) ) $. Klarte selv ved hjelp av CAS å vise at dette var lik $\sqrt{ 1 - \text{noe}^2 }$ og fikk dermed et eksakt uttrykk for arealet. Det er alle mulige slike småting (hvor en viser at en er komfortabel med matematikken og ikke bare gjør
bare minimum hver gang som trekker oppgaven opp til en sekser.
Som et siste eksempel var følgende figur i en oppgave på 1T eksamen
Oppgaven går ut på å bestemme punktet C slik at avstanden $|AC| + |CB|$ minimeres. Dette kan gjøres ved å si at $x$-koordinaten til $C$ er $x$, også finne et uttrykk for lengden basert på $x$.
$ \hspace{1cm}
\|ACE\| = f(x) = \sqrt{10^2-x^2}+\sqrt{(12-x)^2+12^2}
$
Det å deriverere denne funksjonen er ikke helt triviell og det krever noe regning. Det finnes heldigvis som jeg oppdaget en langt enklere og genial metode for å finne avstanden.
Ved å reflektere punktet $E$ over linja $BD$ så forandrer ikke avstanden seg. Den minste avstanden mellom $A$ og $E$ er nå en rett linje.
Regningen blir nå triviell
$ \hspace{1cm}
\frac{10}{12}=\frac{x}{12-x} \ \ \Rightarrow \ \ x = \frac{60}{11}
$
Mens den totale avstanden blir $d = \sqrt{ 12^2 + (10 + 12)^2 } = 2\sqrt{157}$. Poenget igjen er at det er slike geniale og alternative løsninger som virkelig monner opp for mindre slurvefeil underveis. Dette er jo bare for å vise yttereste ekstrema. En kan være kreativ i mindre skala enn det her
